Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geq a+b+c$
Suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(\sum a\sqrt{b+c+1})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(b+c+1)})^2\leq (a+b+c)(\sum a(b+c+1))=(a+b+c)[2(ab+bc+ca)+a+b+c]\leq (a+b+c)(a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2)$
Suy ra $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+2}=\sqrt{3}$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geq a+b+c$
Suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(\sum a\sqrt{b+c+1})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(b+c+1)})^2\leq (a+b+c)(\sum a(b+c+1))=(a+b+c)[2(ab+bc+ca)+a+b+c]\leq (a+b+c)(a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2)$
Suy ra $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+2}=\sqrt{3}$
Đề bài tìn GTNN. Bài làm tìm GTLN?
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$
Bài này DỄ mà bạn
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$
Ta sẽ CM
$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)
Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$
Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$
Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là
$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$
TLongHV
Bài này DỄ mà bạn
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$
Ta sẽ CM
$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)
Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$
Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$
Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là
$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$
cách làm bài này thế nào và tại sao lại có cách sắp xếp biến như vậy ạ
tàn lụi
cách làm bài này thế nào và tại sao lại có cách sắp xếp biến như vậy ạ
À, mình làm theo hướng lấy a chuyển sang nên sắp xếp biến như vậy thôi,bạn cũng có thể sắp xếp theo thứ tự tùy ý mà,nó là 1 bđt không chặt và thậm chí có thể làm trội nhiều nên mình nghĩ theo hướng đó
TLongHV
Bài này DỄ mà bạn
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$
Ta sẽ CM
$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)
Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$
Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$
Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là
$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$
a là số lớn nhất sao a lại k lớn hơn 1. ???
Tks a,e nói nhầm đấy,a không nhỏ hơn 1 mới đúng,a chỉ cần sửa lại chỗ đó thôi
TLongHV
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh