Chủ đề này có 3 trả lời

[fma]

cho ba số thực dương a,b,c. CMR $\sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leq \frac{a+b+c}{3}$

 

[etucgnaohtn]

cho ba số thực dương a,b,c. CMR $\sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leq \frac{a+b+c}{3}$

$\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leq \frac{5a+b}{18}\Leftrightarrow \frac{(5\sqrt{a}+2\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{18(\sqrt{a}+2\sqrt{b})}\geq 0$ ( đúng vì $a,b>0$ )

Tương tự $....$

$\Rightarrow \sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}} \leq \frac{6(a+b+c)}{18}=\frac{a+b+c}{3}$

Dấu $"="$$\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 03-07-2013 - 03:21

[Oral1020]

Cách 2:

Ta có:

$\sum \dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}} \le \dfrac{a+b+c}{3}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{2a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\le \dfrac{2(a+b+c)}{3}$

$\Longleftrightarrow \left (a-\dfrac{a\sqrt{a}}{2\sqrt{b}+\sqrt{a}} \right ) \le \dfrac{2(a+b+c)}{3}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a\sqrt{a}}{2\sqrt{b}+\sqrt{a}} \ge \dfrac{a+b+c}{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz,ta có

$\sum \left (\dfrac{a\sqrt{a}}{2\sqrt{b}+\sqrt{a}} \right ) = \sum \left (\dfrac{a^2}{2\sqrt{ab}+a} \right ) \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2} \ge \dfrac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 03-07-2013 - 09:58

[25 minutes]

cho ba số thực dương a,b,c. CMR $\sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Sử dụng bất đẳng thức $\frac{9}{x+y+z}\leqslant \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ ta có

            $\frac{9}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}$

$\Rightarrow \frac{9a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leqslant \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{2a\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\sqrt{ab}+2a$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

           $\sum \frac{9a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+2(a+b+c)\leqslant 3(a+b+c)$

 $\sum \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}\leqslant \frac{a+b+c}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$