Chủ đề này có 6 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. 

Chứng minh rằng $\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$

[badboykmhd123456]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. 

Chứng minh rằng $\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$

bdt $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq 2$

ta thấy  $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}$

nên cần chứng minh $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

thật vậy bdt trên$\Leftrightarrow \frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca}+\frac{a^2}{a^2+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}= \frac{1}{1-(ab+ac+bc)}\geq \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Vậy bdt đã cho đk CM. Dấu$=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 07-07-2013 - 19:12

[buiminhhieu]

 

bdt $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq 2$

ta thấy  $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}$

nên cần chứng minh $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

thật vậy bdt trên$\Leftrightarrow \frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca}+\frac{a^2}{a^2+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}= \frac{1}{1-(ab+ac+bc)}\geq \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Vậy bdt đã cho đk CM. Dấu$=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

 

chỗ màu đỏ ngược dấu bạn ơi

[buiminhhieu]

 

bdt $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq 2$

ta thấy  $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}$

nên cần chứng minh $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

thật vậy bdt trên$\Leftrightarrow \frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca}+\frac{a^2}{a^2+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}= \frac{1}{1-(ab+ac+bc)}\geq \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Vậy bdt đã cho đk CM. Dấu$=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

 

nếu tiếp tục cách bạn thì thay chỗ màu đỏ thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

[dark magician girl]

chỗ màu đỏ ngược dấu bạn ơi

 

nếu tiếp tục cách bạn thì thay chỗ màu đỏ thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

 đang còn cách để chứng minh A= $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} $\geqslant \frac{3}{2}$ 

 

  là 

xét thêm 1 dãy số là

B=$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$

do A+B=3 và B$\geqslant \frac{3}{2}$ ( bất đẳng thức nesbit)

nên A$\geqslant \frac{3}{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark magician girl: 07-07-2013 - 20:25

[trauvang97]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. 

Chứng minh rằng $\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$

 

Đặt vế trái của biểu thức cần chứng minh là $A$

 

Ta có: 

 

$\frac{a^{2}+b}{b+c}=\frac{a(1-b-c)+b}{b+c}=\frac{a+b}{b+c}-a$

 

Tương tự ta có: $\frac{b^{2}+c}{c+a}=\frac{b+c}{c+a}-b$

 

                         $\frac{c^{2}+a}{a+b}=\frac{c+a}{a+b}-c$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:

 

$A=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}-(a+b+c)\geq 2$ (đpcm)

[badboykmhd123456]

nếu tiếp tục cách bạn thì thay chỗ màu đỏ thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

bạn giải thik rõ hơn đk k t chưa hiểu cái dấu $ \geq $ cuối là ntn