Ngày 1:
Câu 1:Cho tam giác đều $ABC$, $D$ là 1 điểm nằm trên cạnh $BC$ ($D$ không trùng với các đỉnh). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ đối diện với cạnh $AB$, $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác $ACD$ đối diện với cạnh $AC$. Giả sử $E$ là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABI$ và tam giác $ẠCJ$. Chứng minh rằng:$A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $IEJ$
- Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r$ không chia hết cho 3; $p+q+r$ và $p+q+r+3$ đều là các số chính phương
- Có tồn tại các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r$ chia hết cho 3; $p+q+r$ và $p+q+r+3$ đều là các số chính phương
Câu 3:Hai bạn $A$ và $B$ cùng chơi 1 trò chơi gồm 1 quả bóng và $n$ cái hộp được đặt trên các đỉnh của 1 đa giác lồi có $n$ cạnh ($n$ là 1 số nguyên dương). Đầu tiên $A$ giấu quả bóng vào 1 chiếc hộp. Ở mỗi lượt chơi, $B$ sẽ chọn 1 hộp bất kì và $A$ sẽ nói khoảng cách từ quả bóng đến chiếc hộp vừa được chọn, và sau đó chuyển quả bóng sang hộp liền kề. Nếu $B$ tìm ra được quả bóng thì $B$ thắng. Tìm số lượt chơi ít nhất để $B$ chắc chắn thắng trò chơi
Câu 4:Với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$, chứng minh rằng:
$$\frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\frac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\frac{c^4+5a^4}{c(c+2a)}\geq 1-ab-bc-ca$$
Ngày 2:
Câu 5:Cho $a,b,c,d$ là các số thực lớn hơn $1$ và $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn
$$a^{x}+b^{y}=(a^2+b^2)^{x}$$ và $$c^{x}+d^{y}=2^{y}(cd)^{\frac{y}{2}}$$
Chứng minh rằng:$x< y$
Câu 6:Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n!+1\vdots 2n+7$
Câu 7:Cho tứ giác lồi $ABCD$, 2 đường chéo cắt nhau tại $E$ và $BE=\sqrt{2}.DE$; $\angle BEC=45^{\circ}$. Gọi $F$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ và $P$ là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFD$ và đoạn thẳng $DC$. Tính số đo góc $\angle APD$
Câu 8:Trong một đồ thị có hướng với $2013$ đỉnh, có đúng 1 cạnh giữa bất kì hai đỉnh và với mọi đỉnh, tồn tại một cạnh không chứa đỉnh đó. Biết rằng, với mọi cách sắp xếp các cạnh, từ mỗi cạnh chúng ta có thể tiến tới $k$ đỉnh khác bằng cách dùng tối đa 2 cạnh. Tìm giá trị lớn nhất của $k$
Lưu ý:Không thảo luận tại đây mà nhấn vào từng bài để thảo luận
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 10-07-2013 - 11:05