Ngày 1
Câu 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ($a, b$) sao cho $\gcd(a, b)=1$, và $\frac{a}{b}=\overline{ba}$. (Ví dụ, nếu $a = 92$ và $b = 13$, thì $b / a = 13,92$)
Câu 2: Cho $n$ là một số tự nhiên và $w_1, w_2, ....., w_n$ là $n$ quả cân. Ta gọi một tập $\{w_1, w_2, ...., w_n \}$ là một bộ hoàn hảo nếu chúng ta có thể cân được mọi trọng lượng từ $1,2, ....., W$ với những quả cân $w_1, w_2, ......, w_n$, trong đó $W =\sum_{i=1}^nw_i$. Chứng minh rằng nếu ta bỏ đi quả cân nặng nhất trong Bộ hoàn hảo thì những quả cân còn lại vẫn tạo 1 Bộ hoàn hảo.
Câu 3: Cho $M$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Giả sử rằng đường cao vẽ từ $B $cắt đường tròn tại $N$. Hai đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ song song với $MB$ và $MC$, thứ tự cắt $AB$ và $AC$ tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng $NK = NL$.
Ngày 2
Câu 1: Cho $P$ là một điểm nằm ngoài đường tròn $C$. $PA$ và $PB$ là tiếp tuyến với đường tròn $C$. Chọn một điểm $K$ trên $AB$. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PBK$ cắt $C$ tại $T$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng với $P$ qua $A$. Chứng minh rằng:
$$\angle PBT =\angle{P}'KA$$
Câu 2: Giả sử một bảng $ m\times n $. Ta viết một số nguyên vào mỗi ô trong bảng. Đến mỗi lượt, ta chọn một cột, một hàng, hoặc một đường chéo (đường chéo là tập hợp của các ô trong bảng mà hiệu giữa chỉ số hàng và chỉ số cột của chúng không đổi) và cộng hoặc $+1$ hoặc $-1$ vào tất cả các ô trong đó. Chứng minh rằng với mọi bảng $ 3\times 3 $ bất kì, ta có thể chuyển tất cả các số trong bảng về số 0, từ đó suy ra có thể chuyển mọi số trong bảng $m\times n $ về số $0$.
-----Hết------
Edited by THYH, 19-07-2013 - 16:06.