Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c,d >0$ và $a+b+c+d=4$.

Tìm GTNN của $P=(a^3+4)(b^3+4)(c^3+4)(d^3+4)$

 

[dinhthanhhung]

Cho $a,b,c,d >0$ và $a+b+c+d=4$.

Tìm GTNN của $P=(a^3+4)(b^3+4)(c^3+4)(d^3+4)$

 

Áp dụng BDT Holder ta có được : 

$(a^3+4)(b^3+4)(c^3+4)\geq (a+b+c+2)^3=(6-d)^3$

 

Từ đây :

$P\geq (6-d)^3(d^3+4)=-(d-1)^2(d^4-16d^3+75d^2-46d-239)+5^4$

 

Nếu như giả sử : $d=min(a,b,c,d)$ thì $d\leq 1$

 

Hiển nhiên : $-(d-1)^2(d^4-16d^3+75d^2-46d-239)\geq 0$

 

Vậy nên : $P\geq 5^4$

 

Dấu bằng tại $a=b=c=d=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 16-07-2013 - 00:00