Chủ đề này có 2 trả lời

[DarkBlood]

Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$ với $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 11-07-2013 - 16:56

[Juliel]

Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$ với $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$

$x^{2}=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+\frac{1}{8})-\frac{\sqrt{2}}{8}.\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{1}{32}=-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8})+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{-x\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4}=\frac{1-x}{2\sqrt{2}}\Rightarrow x^{4}=\frac{x^{2}-2x+1}{8}\Rightarrow x^{4}+x+1=\frac{x^{2}-2x+1}{8}+x+1=\frac{x^{2}+6x+9}{8}=\frac{(x+3)^{2}}{8}$

Suy ra $x^{2}+\sqrt{x^{4}+x+1}=\frac{1-x}{2\sqrt{2}}+\frac{x+3}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Vậy : $\boxed{A=\sqrt{2}}$

[Christian Goldbach]

Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$ với $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$

$x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Leftrightarrow 4x^2+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow 4\sqrt{2}x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=2-2\sqrt{2}x^2\Rightarrow \sqrt{x^4+x+1}=\sqrt{x^4-2\sqrt{2}x^2+2}= \left | x^2-\sqrt{2} \right |$

Vì $x>0\Leftrightarrow 2-2\sqrt{2}x^2> 0\Rightarrow \sqrt{2}>x^2\Rightarrow \left | x^2- \sqrt{2}\right |=\sqrt{2}-x^2\Rightarrow x^2+\sqrt{x^4+x+1}=\sqrt{2}$