Chủ đề này có 1 trả lời

[jindoak10]

cho $\triangle ABC$ có $AB<BC<AC$.Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Lấy $X,Y$ lần lượt thuộc các tia $BA,CA$ sao cho $BX=CY=BC$. CMR:  $XY\perp OI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-07-2013 - 10:57

[nguyenthehoan]

cho $\triangle ABC$ có $AB<BC<AC$.Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Lấy $X,Y$ lần lượt thuộc các tia $BA,CA$ sao cho $BX=CY=BC$. CMR:  $XY\perp OI$

Lời giải: Ta có $AX=a-c,AY=b-a$

Vẽ $IE,IF,OP,OQ$ vuông góc với $AC,AB$.ta dễ dàng có $XF=p-c,YE=p-b$

Khi đó áp dụng định lí Pitago $IX^{2}-IY^{2}=XF^{2}-YE^{2}=(p-c)^{2}-(p-b)^{2}$

Và $OX^{2}-OY^{2}=OQ^{2}-OP^{2}+QX^{2}-YP^{2}$

Mà $OQ^{2}-OP^{2}=AP^{2}-AQ^{2}=\frac{b^{2}}{4}-\frac{c^{2}}{4}$.

Từ đó ta có $OX^{2}-OY^{2}=IX^{2}-IY^{2}$.

Theo định lí Pitago mở rộng,ta có $XY\perp OI$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 15-07-2013 - 23:01