10 replies to this topic

[chrome98]

 

Trường THPT chuyên Từ Trên Trời Rơi Xuống

Kiểm tra học kì III NGỮ VĂN lớp 10

Thời gian : 50'

 

ĐỀ Số $\pi$

Đề nghị các em học sinh không vi phạm quy chế thi

Làm bài trung thực, đúng đẳng cấp của mình.

Chúc các em thi tốt

 

Đề bài: 3. Theo như lời nhân vật chrome98 nói tại diễn đàn toán học VMF :

"Cho $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ sao cho $a+b+c=4$. Bất đẳng thức sau luôn đúng :

\[ 10\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \ge \frac{4+5a}{4-a}+\frac{4+5b}{4-b}+\frac{4+5c}{4-c} \]

"

Hãy giải thích và dùng cổ tích để chứng minh nhận định trên.

[Strygwyr]

 

 

Trường THPT chuyên Từ Trên Trời Rơi Xuống

Kiểm tra học kì III NGỮ VĂN lớp 10

Thời gian : 50'

 

ĐỀ Số $\pi$

Đề nghị các em học sinh không vi phạm quy chế thi

Làm bài trung thực, đúng đẳng cấp của mình.

Chúc các em thi tốt

 

Đề bài: 3. Theo như lời nhân vật chrome98 nói tại diễn đàn toán học VMF :

"Cho $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ sao cho $a+b+c=4$. Bất đẳng thức sau luôn đúng :

\[ 10\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \ge \frac{4+5a}{4-a}+\frac{4+5b}{4-b}+\frac{4+5c}{4-c} \]

"

Hãy giải thích và dùng cổ tích để chứng minh nhận định trên.

 

Bài này cậu tự chế à, nói chung là bất đẳng thức này không được chặt cho lắm.

Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ sau :

Bài toán phụ : 

Cho các số thực dương $a$,$b$,$c$. Khi đó, bất đẳng thức sau luôn đúng : 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}$

Chứng minh :

Sử dụng các hằng đẳng thức sau : 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}$

 

$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}-3=\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(a+b)}$

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 

$[\frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^{2}+[\frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c)(a+b)}](a-c)(b-c)\geq 0$

 

Giả sử $c=min${$a$,$b$,$c$}, ta được đpcm.

Trở lại bài toán, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

$10\sum \frac{b}{a}\geq \sum \frac{4+5a}{4-a}=\sum (\frac{6a}{b+c}+1)=\sum \frac{6a}{b+c}+3$

Áp dụng bài toán phụ trên, ta có : 

$\sum \frac{b}{a}\geq \sum \frac{b+c}{a+c}>\sum \frac{b}{a+c}\Rightarrow 6\sum \frac{b}{a}>6\sum \frac{b}{a+c}$

Theo AM-GM : $\sum \frac{b}{a}\geq 3$

Do đó : $7\sum \frac{b}{a}> \sum \frac{6a}{b+c}+3$

Spoiler

Bài toán này có một mở rộng khá hay, đó là 

$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 6\sum \frac{a}{b+c}+3$

Không biết kết quả trên có đúng không, chỉ biết nếu sử dụng bài toán phụ trên $2$ lần thì lại được kết quả yếu hơn :

$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 4\sum \frac{a}{b+c}+6$

Edited by namsub, 15-07-2013 - 15:50.

[vutuanhien]

Hình như phần mở rộng đó sai rồi phải Nam ạ. ????

Bạn ấy làm đúng rồi mà

[nguyencuong123]

Bạn ấy làm đúng rồi mà

Cậu chứng minh được phần mở rộng ý 1 không ??

[vutuanhien]

Cậu chứng minh được phần mở rộng ý 1 không ??

Cách của Nam là ngắn gọn nhất rồi. Còn 1 cách khác nữa ở đây:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98955-sum-fracabgeq-sum-fracabac/

[chrome98]

có một cách Schwarz thuần túy đó, các bạn tìm đi nhé. Chính vì nó không chặt lắm, nên không đến nỗi cần dùng phương pháp S.S đâu

Edited by chrome98, 15-07-2013 - 19:15.

[vutuanhien]

có một cách Schwarz thuần túy đó, các bạn tìm đi nhé. Chính vì nó không chặt lắm, nên không đến nỗi cần dùng phương pháp S.S đâu

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98955-sum-fracabgeq-sum-fracabac/

Cách chứng minh dùng C-S đây

[chrome98]

ở bài này thì cách đó ko cần dùng đến Chebyshev và ngắn hơn bài của bạn Nam. Còn 2 bài nữa nhé, mọi người

[nguyencuong123]

Ai chứng minh cái này cho mình cái, chưa nghĩ ra: 

 

$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 6\sum \frac{a}{b+c}+3$

[babystudymaths]

Ai chứng minh cái này cho mình cái, chưa nghĩ ra: 

 

$2\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{b}{a}\geq 6\sum \frac{a}{b+c}+3$

Quá dễ mà bạn

Ta có: BĐT tương đương

$\sum 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-12\geq 6(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a+c)(b+c)})\geq 0$

Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$

Ta dễ dàng chứng minh đc $S_{b},S_{a},\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$

Lúc này chỉ cần áp dụng tiêu chuẩn 2 ta có đ.p.c.m

[nguyencuong123]

Sao lại: $\sum 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-12\geq 6\left (\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a+c)(b+c)})$