Chủ đề này có 12 trả lời

[AnnieSally]

Câu 1:

Cho hàm số $y=f(x)=x^{2}-2(m-1)x+m$

1) Tìm m để bất phương trình $f(x)\geq 0$ nhận mọi $x$ là nghiệm 

2) Tìm m để phương trình $f(x)= 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ lớn hơn 1.

Câu 2: 

1) Giải phương trình 

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-4x+3}+6$

2) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} & x^{3}+2x^{2}y-2y=x^{2}y+2xy^{2}-2x & \\ & \sqrt{2x-1}+\sqrt{2y-1}=x+2y-1 & \end{matrix}\right.$

Câu 3:

1) Giải bất phương trình 

$\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}\geq x^{3}+3x-1$

2) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$

$A=cos^{4}x-sin^{4}x+2sin^{2}x\sqrt[3]{3(sin^{4}+cos^{4}x)-2(sin^{6}x+cos^{6}x)}$

Câu 4:

1) Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có: 

$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}.(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$

2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(1;2)$. Đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $x+y+1=0$. Tìm toạ độ $B$ và $C$, biết $AB=2AC$.

3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho 2 đường tròn 

$(C_{1}):(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=9$ và $(C_{2}):(x-2)^{2}+(y+2)^{2}=5$

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0)$, đồng thời $\Delta$ cắt các đường tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ lần lượt tại $M, N$ ($M,N$ không trùng $A$) sao cho $AM=2AN$.

Câu 5:

Cho các số thực dương $a, ,b, c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}+\frac{b}{b^{3}+c^{2}+a}+\frac{c}{c^{3}+a^{2}+b}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 15-07-2013 - 17:03

[Zaraki]

Câu 5:

Cho các số thực dương $a, ,b, c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}+\frac{b}{b^{3}+c^{2}+a}+\frac{c}{c^{3}+a^{2}+b}\leq 1$

Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $(a^3+b^2+c) \left( \frac 1a + 1 +c \right) \ge (a+b+c)^2$ nên $\frac{a}{a^3+b^2+c} \le \frac{1+a+ac}{9}$.

Do đó $\sum \frac{a}{a^3+b^2+c} \le \frac{3+a+b+c+ab+bc+ca}{9} \le 1$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

[Yagami Raito]

 

Câu 2: 

1) Giải phương trình 

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-4x+3}+6$

 

 

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ $\sqrt{x-3}=b$

$\Leftrightarrow 2a+3b=ab+6\Leftrightarrow (2-b)(a-3)=0$

Hoặc $b=2$ hoặc $a=3$ nên $x=7$ hoặc $x=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 15-07-2013 - 17:45

[Yagami Raito]

 

2) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} & x^{3}+2x^{2}y-2y=x^{2}y+2xy^{2}-2x & \\ & \sqrt{2x-1}+\sqrt{2y-1}=x+2y-1 & \end{matrix}\right.$

 

Từ (1) ta có $(x-y)(x^2+2xy+2)=0$ $\Rightarrow$ hoặc $x=y$ hoặc $x^2+2xy+2=0$

Với $x=y$ thay vào (2) ta có hoặc $x=1$ hoặc $x=\frac{5}{9}$

Với $x^2+2xy+2=0$ thay vào (2) giải tiếp : Đến đây em giải chưua ra mong mọi người thông cảm

[Zaraki]

2) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} & x^{3}+2x^{2}y-2y=x^{2}y+2xy^{2}-2x \qquad (1) & \\ & \sqrt{2x-1}+\sqrt{2y-1}=x+2y-1 \qquad (2) & \end{matrix}\right.$

Lời giải. Điều kiện $x,y \ge \frac 12$.

Ta có $(1) \Leftrightarrow (x-y) \left( x^2+2xy+2 \right) =0$.

$\blacktriangleright$ Nếu $x=y$ thì $(2) \Leftrightarrow 2 \sqrt{2x-1}=3x-1 \Rightarrow (9x-5)(x-1)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x= \frac 59 \end{array} \right.$ thoả mãn điều kiện.

$\blacktriangleright$ Nếu $x^2+2xy+2=0$, mâu thuẫn với điều kiện.

 

Vậy $\boxed{ (x,y)= (1,1), \left( \frac 59, \frac 59 \right)}$.

[LuminousVN]

Câu 1:

Cho hàm số $y=f(x)=x^{2}-2(m-1)x+m$

1) Tìm m để bất phương trình $f(x)\geq 0$ nhận mọi $x$ là nghiệm 

1) $f(x)\geq 0,\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta'\leq 0\Leftrightarrow (m-1)^2-m\leq 0\Leftrightarrow m^2-3m+1\leq 0$

$\Leftrightarrow m\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}\vee m\leq \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuminousVN: 15-07-2013 - 19:36

[LuminousVN]

Câu 1:

2) Tìm m để phương trình $f(x)= 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ lớn hơn 1.

 

Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm khi $\Delta'=m^2-3m+1\geq0$

Hai nghiệm của phương trình $f(x)=0$  đều lớn hơn 1 nên ta có các bất phương trình

$(m-1)+\sqrt{m^2-3m+1}>1\Leftrightarrow m>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$(m-1)-\sqrt{m^2-3m+1}>1\Leftrightarrow\frac{3+\sqrt{5}}{2}<m<3$

Kết hợp các ĐK trên ta được $\frac{3+\sqrt{5}}{2}<m<3$

[tienthcsln]

Câu 5: Mọi người thử tham khảo cách này xem được không:

Áp dụng BĐT cô-si ta có:

 $a^{3}\geq 3a-2$ và $b^{2}\geq 2b-1$

Suy ra: $\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leqslant \frac{a}{3a+2b+c-3}= \frac{a}{2a+b}$

Làm tương tự với 2 phân thức kia ta được $\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

Ta chỉ cần chứng minh: $\sum \frac{a}{2a+b} \leq 1$    (*)

(*) $\Leftrightarrow 3abc\leqslant ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

BĐT này luôn đúng (theo BĐT cô-si)

Ta có đpcm.

Câu 3: a)

ĐK: $x\geq \frac{2}{3}$

Ta có:$x^{3}+3x-1$$\leq \sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}\leq \frac{7x+5}{4}$$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( 4x^{2}+4x+9 \right )\leq 0$$\Leftrightarrow x\leq 1$$\Rightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 1$

Mặt khác: BPT$\Leftrightarrow (\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt{x+3}-2)\geqslant x^{3}+3x-4\Leftrightarrow \frac{3(x-1)}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}\geqslant \left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+4 \right )$

$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\leqslant x^{2}+x+4$

BĐT này luôn đúng vì $\frac{2}{3}\leqslant x\leqslant 1$ nên VT$\leqslant 9-\sqrt{33}< \frac{46}{9}\leqslant$ VP

Vậy BPT đã cho đúng với mọi x thỏa $\Rightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 1$

[LuminousVN]

Câu 4:

2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(1;2)$. Đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình $x+y+1=0$. Tìm toạ độ $B$ và $C$, biết $AB=2AC$.

 

Giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC $\Rightarrow AH:x-y+1=0$

H là giao điểm của AH và BC $\Rightarrow H(-1;0)$

Ta có $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(2AC)^2+AC^2}=AC\sqrt{5}$

Đồng thời $C\in BC\Rightarrow C(c;-c-1)$ và $B\in BC\Rightarrow B(b;-b-1)$

Mà $AC^2=BC.HC=AC.HC\sqrt{5}\Rightarrow AC=HC\sqrt{5} \Rightarrow AC^2=5HC^2$

$\Leftrightarrow (c-1)^2+(c+3)^2=5.2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow 8c^2+16c=0\Leftrightarrow c=0\vee c=-2$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\vec{BA}.\vec{CA}=0$ (1)

+ Với $c=0\Rightarrow C(0;-1)$ thì $(1)\Leftrightarrow (1-b)+3(b+3)=0\Leftrightarrow b=-5$

$\Rightarrow B(-5;4)$

+ Với $c=-2\Rightarrow C(-2;1)$ thì $(1)\Leftrightarrow 3(1-b)+(b+3)=0\Leftrightarrow b=3$

$\Rightarrow B(3;-4)$

Vậy $B(-5;4)$, $C(0;-1)$ hoặc $B(3;-4)$, $C(-2;1)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuminousVN: 16-07-2013 - 14:49

[LuminousVN]

Câu 4:

3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho 2 đường tròn 

$(C_{1}):(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=9$ và $(C_{2}):(x-2)^{2}+(y+2)^{2}=5$

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0)$, đồng thời $\Delta$ cắt các đường tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ lần lượt tại $M, N$ ($M,N$ không trùng $A$) sao cho $AM=2AN$.

 

$( C_1)$ có tâm $I_1(1;3)$, bán kính $R=3$

$( C_2)$ có tâm $I_2(2;-2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$

Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm trong đó có 1 điểm là $A$.

Gọi $E_1$ và $E_2$ lần lượt là trung điểm của $AM$ và $AN$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0)$ có phương trình $a(x-1)+by=0$ $(a^2+b^2>0)$

Ta có $AE_1^2=I_1A^2-I_1E_1^2=9- \frac {9b^2} {a^2+b^2}$

Tương tự $AE_2^2=5- \frac {(a-2b)^2} {a^2+b^2}$

$AM=2AN\Rightarrow AE_1=2AE_2\Rightarrow AE_1^2=4AE_2^2$

$\Leftrightarrow 7a^2+16ab+4b^2=0\Leftrightarrow 7(\frac{a}{b})^2+16\frac{a}{b}+4=0$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}=-2\vee \frac{a}{b}=-\frac{2}{7}$

$\Rightarrow \Delta:2x-y-2=0$ hoặc $\Delta:2x-7y-2=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuminousVN: 18-07-2013 - 18:21

[banhgaongonngon]

Câu 4:

1) Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có: 

$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}.(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$

Câu 5:

Cho các số thực dương $a, ,b, c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}+\frac{b}{b^{3}+c^{2}+a}+\frac{c}{c^{3}+a^{2}+b}\leq 1$

 

Câu 4:

 

Gọi $a,b,c,m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là độ dài ba cạnh $BC,CA,AB$ và ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh đó của tam giác $ABC$.

Ta có đẳng thức quen thuộc:

$0=\left (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )^{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{2}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})$

Mặt khác ta có

$GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\frac{4}{9}\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )=\frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

 

Câu 5

$\sum \frac{a}{\frac{a^{2}}{\frac{1}{a}}+\frac{b^{2}}{1}+\frac{c^{2}}{c}}\leq \sum \frac{a}{\frac{(a+b+c)^{2}}{1+c+\frac{1}{a}}}=\frac{6+ab+bc+ca}{9}\leq 1$

[Kaito Kuroba]

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}$=$\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$=$\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

 

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq  \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\leq \frac{1+a+ca}{9}

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 27-12-2013 - 13:19

[Kaito Kuroba]

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1