Chủ đề này có 6 trả lời

[Dinhxuanbaohung]

cho x² + y² +z² =3 . Chứng minh :

$\frac{4+x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}\geq 5$

 

có lẽ là nên dùng bđt jensen nhưng chứng minh hàm lồi có ai chứng minh được không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinhxuanbaohung: 19-07-2013 - 08:56

[tramyvodoi]

cho x² + y² +z² =3 . Chứng minh :

$\frac{4+x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}\geq \frac{5}{3}$

 

có lẽ là nên dùng bđt jensen nhưng chứng minh hàm lồi có ai chứng minh được không ?

Để ý 1 chút, ta thấy $\sụm \frac{4+x}{4-x^{2}}=\frac{1}{2-x}+\frac{2}{4-x^{2}}$.

Ta đưa bài toán về tìm max của $\sum \frac{1}{2-x}$ và $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. Nên ta sẽ chứng minh

$\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

Áp dụng bđt C-S:

$\sum \frac{x}{2-x}=\sum \frac{x^{4}}{2x^{3}-x^{4}}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}\geq \frac{9}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}$

Ta sẽ chứng minh $2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}-x^{4}-y^{4}-z^{4}\leq 3$         (1)

Ta có $x^{4}+x^{2}\geq 2x^{3}$

Thực hiện 2 bdt tương tự rồi cộng theo vế, kết hợp với giả thiết $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ ta chứng minh được (1)

Ta sẽ tìm min của $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Ta có $\sum \frac{2}{4-x^{2}}=2.\sum \frac{1}{4-x^{2}}\geq 2.\frac{9}{12-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq 2$

Từ đây ta tìm được min của bài toán

[vutuanhien]

Đề bài có yêu cầu chứng minh $P\geq 5$ đâu nhỉ?

Nếu lấy $x=y=z=-1$ thì min $P$ không bằng 5 nữa và cách làm của chị tramyvodoi sai (vì $x,y,z<0$ nên mẫu số các biểu thức âm, không dùng Cauchy-Schwarz được nữa )

Theo em nếu đề bài đúng, tức là chứng minh $P\geq \frac{5}{3}$ thì làm như sau:

Ta có $\frac{4+x}{4-x^2}-\frac{5}{9}=\frac{5x^2+9x+16}{9(4-x^2)}\geq 0$ (vì $5x^2+9x+16> 0$ và $9(4-x^2)\geq 0$)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 18-07-2013 - 19:26

[Dinhxuanbaohung]

Để ý 1 chút, ta thấy $\sụm \frac{4+x}{4-x^{2}}=\frac{1}{2-x}+\frac{2}{4-x^{2}}$.

Ta đưa bài toán về tìm max của $\sum \frac{1}{2-x}$ và $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. Nên ta sẽ chứng minh

$\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

Áp dụng bđt C-S:

$\sum \frac{x}{2-x}=\sum \frac{x^{4}}{2x^{3}-x^{4}}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}\geq \frac{9}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}$

Ta sẽ chứng minh $2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}-x^{4}-y^{4}-z^{4}\leq 3$         (1)

Ta có $x^{4}+x^{2}\geq 2x^{3}$

Thực hiện 2 bdt tương tự rồi cộng theo vế, kết hợp với giả thiết $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ ta chứng minh được (1)

Ta sẽ tìm min của $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Ta có $\sum \frac{2}{4-x^{2}}=2.\sum \frac{1}{4-x^{2}}\geq 2.\frac{9}{12-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq 2$

Từ đây ta tìm được min của bài toán

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

tại sao lại có đoạn này chị

[nguyencuong123]

Mình cũng thắc mắc chỗ này. @@

[vutuanhien]

cho x² + y² +z² =3 . Chứng minh :

$\frac{4+x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}\geq 5$

 

có lẽ là nên dùng bđt jensen nhưng chứng minh hàm lồi có ai chứng minh được không ?

BĐT này sai

Cho $x=y=z=-1$ thì biểu thức sẽ có giá trị là $3$ có lớn hơn hoặc bằng $5$ đâu 

[nguyencuong123]

BĐT này sai

Cho $x=y=z=-1$ thì biểu thức sẽ có giá trị là $3$ có lớn hơn hoặc bằng $5$ đâu 

Bạn ý nhầm thôi mà