cho x2 + y2 +z2 =3 . Chứng minh :
$\frac{4+x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}\geq \frac{5}{3}$
có lẽ là nên dùng bđt jensen nhưng chứng minh hàm lồi có ai chứng minh được không ?
Để ý 1 chút, ta thấy $\sụm \frac{4+x}{4-x^{2}}=\frac{1}{2-x}+\frac{2}{4-x^{2}}$.
Ta đưa bài toán về tìm max của $\sum \frac{1}{2-x}$ và $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. Nên ta sẽ chứng minh
$\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$
Áp dụng bđt C-S:
$\sum \frac{x}{2-x}=\sum \frac{x^{4}}{2x^{3}-x^{4}}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}\geq \frac{9}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}$
Ta sẽ chứng minh $2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}-x^{4}-y^{4}-z^{4}\leq 3$ (1)
Ta có $x^{4}+x^{2}\geq 2x^{3}$
Thực hiện 2 bdt tương tự rồi cộng theo vế, kết hợp với giả thiết $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ ta chứng minh được (1)
Ta sẽ tìm min của $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$
Ta có $\sum \frac{2}{4-x^{2}}=2.\sum \frac{1}{4-x^{2}}\geq 2.\frac{9}{12-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq 2$
Từ đây ta tìm được min của bài toán