Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

Cho tam giác nhọn $ABC$. 1 hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$. $M,N$ thuộc $BC$, $P$ thuộc $AC$; $Q$ thuộc $AB$. Kẻ đường cao AH.a

a) TÍnh $\frac{BQ}{BC}+\frac{MQ}{AH}$ từ đó suy ra rằng diên tích $MNPQ$ đạt $max$ khi $P,Q$ đi qua trung điểm $AH$.

b) Giả sử $AH=BC$ chứng minh rằng: với mọi hình chữ nhật $MNPQ$ đều có chu vi bằng nhau

[DarkBlood]

Cho tam giác nhọn $ABC$. 1 hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$. $M,N$ thuộc $BC$, $P$ thuộc $AC$; $Q$ thuộc $AB$. Kẻ đường cao AH.a

a) TÍnh $\frac{BQ}{BC}+\frac{MQ}{AH}$ từ đó suy ra rằng diên tích $MNPQ$ đạt $max$ khi $P,Q$ đi qua trung điểm $AH$.

b) Giả sử $AH=BC$ chứng minh rằng: với mọi hình chữ nhật $MNPQ$ đều có chu vi bằng nhau

$a)$ Mình làm trước ý sau của phần $a,$ ý đầu hình như sai đề.

 

Đặt $BC=a, AH=h, MQ=x, PQ=y.$ $AH$ cắt $PQ$ tại $I.$ Dễ thấy $AI=h-x$

 

Áp dụng hệ quả Thales vào tam giác $ABC\ (PQ\parallel BC)$ và tam giác $ABH\ (MQ\parallel AH),$ ta có

 

           $\bullet\ \dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AQ}{AB}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{y}{a}=1-\dfrac{BQ}{AB}\ \ \ \ (1)$

 

           $\bullet\ \dfrac{BQ}{AB}=\dfrac{MQ}{AH}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{BQ}{AB}=\dfrac{x}{h}\ \ \ \ \ \ (2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\dfrac{y}{a}=1-\dfrac{x}{h}\ \Leftrightarrow y=a\left ( 1-\dfrac{x}{h} \right )=a\left ( \dfrac{h-x}{h} \right )$

 

Do đó, ta có:

 

$S_{MNQP}=xy=\dfrac{x.a(h-x)}{h}=-\dfrac{a}{h}\left ( x^2-hx \right )=-\dfrac{a}{h}\left [ \left ( x-\dfrac{h}{2} \right )^2-\dfrac{h^2}{4} \right ]=$

 

$=\dfrac{ah}{4}-\dfrac{a}{h}\left ( x-\dfrac{h}{2} \right )^2\leq \dfrac{ah}{4}=\frac{S_{ABC}}{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=\dfrac{h}{2}\ \Leftrightarrow\ AI=h-x=\dfrac{h}{2}\ \Leftrightarrow$ $I$ là trung điểm $PQ$ hay $P,Q$ đi qua trung điểm $AH$.

 

Vậy giá trị lớn nhất của $S_{NMPQ}$ bằng nửa $S_{ABC}$ khi $P, Q$ đi qua trung điểm $AH.$

 

Mình nghĩ ý đầu của câu này phải là tính $\frac{PQ}{BC}+\frac{MQ}{AH}$

 

Nếu là như vậy áp dụng vào ý sau sẽ có một cách mới nhanh hơn.

 

Theo như chứng minh ở trên: $\frac{PQ}{BC}=\dfrac{y}{a}=1-\dfrac{x}{h}$ và $\frac{MQ}{AH}=\dfrac{x}{h}$

 

Do đó $\frac{PQ}{BC}+\frac{MQ}{AH}=1-\dfrac{x}{h}+\dfrac{x}{h}=1$

 

Ta có $\dfrac{xy}{ah}=\dfrac{y}{a}\cdot\dfrac{x}{h}=\dfrac{PQ}{BC}\cdot\dfrac{MQ}{AH}\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{PQ}{BC}+\dfrac{MQ}{AH} \right )^2=\dfrac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ xy\leq \dfrac{ah}{4}\ \Leftrightarrow\ S_{MNPQ}\leq \frac{S_{ABC}}{2}$

 

$b)$ Theo câu $a,$ ta có $\dfrac{y}{a}=1-\dfrac{BQ}{AB}$ và $\dfrac{x}{h}=\dfrac{BQ}{AB}$ mà $a=h\ (AH=BC)$ 

 

Nên $\dfrac{x+y}{a}=1-\dfrac{BQ}{AB}+\dfrac{BQ}{AB}\ \Leftrightarrow\ x+y=a\ \Leftrightarrow 2(x+y)=2a\ \Leftrightarrow P_{MNPQ}=\text{const}$

 

@@:hiếu : chắc đề câu a) sai rồi ...dạo này chán quá ghi toàn sai đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 20-07-2013 - 13:39

[canhhoang30011999]

cau b

theo dl ta let ta co

$\frac{QM}{AH}= \frac{BQ}{AB}$

$\frac{QP}{BC}= \frac{AQ}{AB}$$\Rightarrow \frac{QM}{AH}+\frac{QP}{BC}= 1$

MA AH=BC$\Rightarrow QM+QP= BC\Rightarrow Pmnpq= 2BC$ KHONG DOI