Chủ đề này có 2 trả lời

[Alexman113]

Cho các số thực $x,\,y>0$ thỏa mãn $3x+y\leq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 16:23

[banhgaongonngon]

Cho các số thực $x,\,y>0$ thỏa mãn $3x+y\leq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$$

 

$S\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x(1-3x)}}$

$\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{1-2x}=\frac{2}{x(1-x)}\geq \frac{8}{(x+1-x)^{2}}=8$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

[AM GM]

Cho các số thực $x,\,y>0$ thỏa mãn $3x+y\leq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$$

$x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2x+x+y\geq 2x+2\sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\geq x+\sqrt{xy}$

lại có $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{4}{x+\sqrt{xy}}\geq \frac{4}{\frac{1}{2}}= 8$

dấu bằng xẳy ra khi x=$\frac{1}{4}=y$