Chủ đề này có 17 trả lời

[Quynh Anh Flie]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1.

a. Tính Min $A = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}$

b. Tính Min $B = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}$

[nguyencuong123]

Mình làm luôn:a)$A=\frac{1}{\sum a^{2}}+\sum \frac{1}{3ab}+\sum \frac{2}{3ab}\geq \frac{9}{(\sum a)^{2}+\sum ab}+\sum \frac{2}{3ab}\geq 30$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 21-07-2013 - 19:32

[nguyencuong123]

$\sum \frac{1}{a^{2}}+\sum \frac{1}{ab}\geq 2\sum \frac{1}{ab}=\frac{2(a+b+c)}{abc}=\frac{2}{abc}\geq \frac{2}{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}=54$

[Quynh Anh Flie]

Mình làm luôn:a)$A=\frac{1}{\sum a^{2}}+\sum \frac{1}{3ab}+\sum \frac{2}{3ab}\geq \frac{9}{(\sum a)^{2}+\sum ab}+\sum \frac{2}{3ab}\geq 30$

 

 

$\sum \frac{1}{a^{2}}+\sum \frac{1}{ab}\geq 2\sum \frac{1}{ab}=\frac{2(a+b+c)}{abc}=\frac{2}{abc}\geq \frac{2}{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}=54$

Ơ... Bạn ơi, mình mới học lớp 8 thôi, nên nhìn lời giải của bạn mình không hiểu? Bạn có thể giải theo cách nào dễ hiểu hơn được không? Cảm ơn nhiều...

[nguyencuong123]

Lớp 8 à.Thế chưa học C-S thì không làm được đâu em.

[Simpson Joe Donald]

Lớp 8 à.Thế chưa học C-S thì không làm được đâu em.

Lớp 8 nâng cao là biết Cauchy rồi. Bạn ấy chỉ không hiểu $\sum$ thôi.

[nguyencuong123]

C-S không phải coshi mà là Bunhia.Ở đây là dạng mở rộng (Gọi là Svac-xo)

[BoFaKe]

C-S không phải coshi mà là Bunhia.Ở đây là dạng mở rộng (Gọi là Svac-xo)

Thường thì Cô-si và Bunhia thường học cùng nhau,nếu không thì dùng biến đổi tương đương chứng minh bunhia rồi làm cũng đuợc,với lại Svac chỉ là hệ quả của bunhia,nếu làm Svac được thì cũng làm Bunhia được.

[hoctrocuanewton]

b, vi $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

nen $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant \frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}$

ap dung bdt schwars  ta co

$\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}\geqslant \frac{18}{ab+ac+bc}$

do ab+bc+ac$\leqslant \frac{ (ab+bc+ac)^{2}}{3}= \frac{1}{3}$

suy ra $\frac{1}{ a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant 54$

vay Min B=54

 

[Quynh Anh Flie]

Ừm, Cô-si và Bunhia mình biết rồi, là $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ và $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ phải ko? Nhưng còn C-S hay Cauchy - Schwarz gì gì đấy mình chưa hiểu... Xem ở wikipedia toàn mấy cái dấu lạ lạ nhìn chả hiểu gì luôn

Nếu có thể giải theo Cô-si thì giải giúp mình với nhé!

 

 

ap dung bdt schwars  ta co

$\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}\geqslant \frac{18}{ab+ac+bc}$

do ab+bc+ac$\leqslant \frac{ (ab+bc+ac)^{2}}{3}= \frac{1}{3}$

suy ra $\frac{1}{ a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant 54$

vay Min B=54

 

Bạn ơi, BĐT schwars mà bạn nói là tn vậy? Và chỗ này của bạn nữa ab+bc+ac$\leqslant \frac{ (ab+bc+ac)^{2}}{3}= \frac{1}{3}$

 mình chưa hiểu lắm! Bạn giải thích kĩ hơn đc k? Thông cảm, mình hơi... ngu

[letankhang]

Ừm, Cô-si và Bunhia mình biết rồi, là $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ và $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ phải ko? Nhưng còn C-S hay Cauchy - Schwarz gì gì đấy mình chưa hiểu... Xem ở wikipedia toàn mấy cái dấu lạ lạ nhìn chả hiểu gì luôn

Nếu có thể giải theo Cô-si thì giải giúp mình với nhé!

 

 

 

Bạn ơi, BĐT schwars mà bạn nói là tn vậy? Và chỗ này của bạn nữa ab+bc+ac$\leqslant \frac{ (ab+bc+ac)^{2}}{3}= \frac{1}{3}$

 mình chưa hiểu lắm! Bạn giải thích kĩ hơn đc k? Thông cảm, mình hơi... ngu

BDT Schwarz là như thế này nè bạn :

$\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+..+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 26-07-2013 - 22:36

[hoctrocuanewton]

Ừm, Cô-si và Bunhia mình biết rồi, là $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ và $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ phải ko? Nhưng còn C-S hay Cauchy - Schwarz gì gì đấy mình chưa hiểu... Xem ở wikipedia toàn mấy cái dấu lạ lạ nhìn chả hiểu gì luôn

Nếu có thể giải theo Cô-si thì giải giúp mình với nhé!

 

 

 

Bạn ơi, BĐT schwars mà bạn nói là tn vậy? Và chỗ này của bạn nữa ab+bc+ac$\leqslant \frac{ (ab+bc+ac)^{2}}{3}= \frac{1}{3}$

 mình chưa hiểu lắm! Bạn giải thích kĩ hơn đc k? Thông cảm, mình hơi... ngu

do $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geqslant 3(ab+bc+ac)$

con chung minh cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac$ thi ban nhan voi 2 ca 2 ve roi su dung hang dang thuc la duoc      

[Quynh Anh Flie]

do $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geqslant 3(ab+bc+ac)$

con chung minh cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac$ thi ban nhan voi 2 ca 2 ve roi su dung hang dang thuc la duoc      

Ừa vậy là bạn viết nhầm, đáng lẽ phải là $ab + bc + ac \leq \frac{(a + b + c)^2}{3}$ đúng k

Hì hì, còn 1 vđ nữa, theo như bạn letankhang nói BĐT Schwarz là $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + ... + \frac{a_n}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2}{b_1 + b_2 + ... +b_n}$, vậy làm sao $\frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ac} \geq \frac{18}{ab + bc + ac}$ được, phải là $\frac{36}{ab + bc + ac}$ chứ nhỉ ? Bạn giải thích cho mình vs!!!

[lovemath99]

Ừa vậy là bạn viết nhầm, đáng lẽ phải là $ab + bc + ac \leq \frac{(a + b + c)^2}{3}$ đúng k

Hì hì, còn 1 vđ nữa, theo như bạn letankhang nói BĐT Schwarz là $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + ... + \frac{a_n}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2}{b_1 + b_2 + ... +b_n}$, vậy làm sao $\frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ac} \geq \frac{18}{ab + bc + ac}$ được, phải là $\frac{36}{ab + bc + ac}$ chứ nhỉ ? Bạn giải thích cho mình vs!!!

 

$$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\ge \dfrac{(3\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{18}{ab+bc+ac}$$

[Quynh Anh Flie]

$$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\ge \dfrac{(3\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{18}{ab+bc+ac}$$

Cảm ơn ~ Vậy là bạn letankhang ghi nhầm rồi =="

[lovemath99]

Cảm ơn ~ Vậy là bạn letankhang ghi nhầm rồi =="

 

Bạn ấy ghi đúng rồi, không nhầm đâu. Mình ghi vầy cho bạn dễ hiểu nhé.

$$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{ab}+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{bc}+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{ac}\ge \dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}= \dfrac{(3\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{18}{ab+bc+ac}$$

Hiểu chưa bạn.

[Quynh Anh Flie]

Bạn ấy ghi đúng rồi, không nhầm đâu. Mình ghi vầy cho bạn dễ hiểu nhé.

$$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{ab}+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{bc}+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{ac}\ge \dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}= \dfrac{(3\sqrt{2})^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{18}{ab+bc+ac}$$

Hiểu chưa bạn.

Hì, chỗ đấy mình hiểu rồi, bạn cứ nhìn lại của bạn letankhang ấy, phải là $\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + ... + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2}{b_1 + b_2 + ... + b_n}$ chứ! Bạn ấy viết thiếu mà! Như thế này mới đúng với lời giải của bạn!

[Quynh Anh Flie]

Thui vậy là mình làm cũng làm đc câu a rồi, cảm ơn các bạn nhiều nhé hehe!!!