Chủ đề này có 5 trả lời

[25 minutes]

Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng $a^n+\frac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\frac{1}{a}-2)$

[huynhviectrung]

Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng $a^n+\frac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\frac{1}{a}-2)$

Bất đẳng thức tương đương với $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1\geq n^2a^{n-1}$ (hiển nhiên theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhviectrung: 22-07-2013 - 19:46

[pham thuan thanh]

do tính đối xứng giữa a và $\frac{1}{a}$ nên ta có thể giả sử a ≥ 1.  đặt $\sqrt{a}$ =x ≥ 1.bdt $\Leftrightarrow$ $x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}-2 \geq n^{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2)\Leftrightarrow (x^{n}-\frac{1}{x^{n}})^{2}\geq n^{2}(x-\frac{1}{x})^{2} \Leftrightarrow $x^{n}-\frac{1}{x^{n}}\geq n(x-\frac{1}{x})$①.

với x=1 thì ① đúng

với x>1 thì ① $\Leftrightarrow x^{n-1} +x^{n-3} ...+\frac{1}{x^{n-3}}+\frac{1}{x^{n-1}}\geq n$ (đúng vì theo bđt AM-GM).

Dấu bằng xảy ra khi x=1 $\Leftrightarrow a=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pham thuan thanh: 22-07-2013 - 23:01

[Ha Manh Huu]

Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng $a^n+\frac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\frac{1}{a}-2)$

đặt $\frac{1}{a}=b\Rightarrow ab=1$

bđt phải cm tương đương với $\left ( \sqrt{a^{n}}-\sqrt{b^{n}} \right )^{2}\geq n^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\Leftrightarrow x^{n}-y^{n}\geq n(x-y)\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n(x-y)$(với $x= \sqrt{a};y= \sqrt{b}$

$\Leftrightarrow (x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n$ (đúng $\Leftrightarrow (x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n\sqrt[n]{x^{1+2+...+n-1}y^{1+2+...+n-1}}=n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 27-07-2013 - 12:10

[mathvvn]

đặt $\frac{1}{a}=b\Rightarrow ab=1$

bđt phải cm tương đương với $\left ( \sqrt{a^{n}}-\sqrt{b^{n}} \right )^{2}\geq n^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\Leftrightarrow x^{n}-y^{n}\geq n(x-y)\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n(x-y)$(với $x= \sqrt{a};y= \sqrt{b}$

$\Leftrightarrow (x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n$ (đúng $\Leftrightarrow (x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})\geq n\sqrt[2n-2]{x^{1+2+...+n-1}y^{1+2+...+n-1}}=n)$

Chỗ này chắc gì $x\geq y$

[Ha Manh Huu]

Chỗ này chắc gì $x\geq y$

cô si n số mà bạn