Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 23-07-2013 - 13:27
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 23-07-2013 - 13:27
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$
----------------------------------------
P/S: CÓ 1 ĐIỀU THẮC MẮC LÀ THAY VÀO Min=6
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 23-07-2013 - 15:31
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
Cách giải dẫn đến sai lầm:
Xét $ \overrightarrow{u} = (x;y+1);$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 24-07-2013 - 12:01
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
áp dụng Mincopxki
$A = \sqrt{(-x)^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(3-y)^2} \geq 4$
p/s: chú Super post nhanh thế
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 23-07-2013 - 14:54
Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$$\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$
2x-y=2 bạn ạ
tàn lụi
các bác xem lại cái sao anh võ quốc bá cẩn giải ra khác nhỉ
tàn lụi
Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$
Xét $ \overrightarrow{u} = (x;y+1);$
$\overrightarrow{v}=(-x;3-y)$Ta có: $ \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}} = \left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |$.Mặt khác: $\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |\geq \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |$$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{(-x)^{2}+(3-y)^{2}}\geq \sqrt{4^2}=4$Dấu "="xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(3-y)=-x(y+1)\\ 2x-y= 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-2 \end{matrix}\right.$Thử lại thấy thỏa mãn.Kết luận minBT= 4 khi $x=0;y= - 2$
áp dụng Mincopxki
$A = \sqrt{(-x)^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(3-y)^2} \geq 4$
p/s: chú Super post nhanh thế
Tình hình là Min cốp xki ,dấu bằng của nó xảy ra khi các số là các bộ tỉ lệ vs nhau,tức là $\frac{-x}{x}= \frac{y+1}{3-y}= -1$
Thay y=-2 vào ta thấy dấu = không thỏa mãn
TLongHV
Tình hình là Min cốp xki ,dấu bằng của nó xảy ra khi các số là các bộ tỉ lệ vs nhau,tức là $\frac{-x}{x}= \frac{y+1}{3-y}= -1$
Thay y=-2 vào ta thấy dấu = không thỏa mãn
Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$
Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$
thì cũng là $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
tàn lụi
thì cũng là $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
Nhưng nếu các số bằng 0 thì sao? Khi đó phân thức không tồn tại! BĐT này đúng với Mọi bộ số thực!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 23-07-2013 - 15:22
Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$
À là vì mình biết dấu = đúng của nó nên để thế thôi,chứ cứ để bộ tỉ lệ cho dễ hiểu
TLongHV
À là vì mình biết dấu = đúng của nó nên để thế thôi,chứ cứ để bộ tỉ lệ cho dễ hiểu
Để tỉ lệ đúng trong trường hợp có điều kiện các ẩn sao cho phân thứ tỉ lệ tồn tại! Trong TH này ta chỉ nên để tích!
Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$
Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$
----------------------------------------
P/S: CÓ 1 ĐIỀU THẮC MẮC LÀ THAY VÀO Min=6
đấy chính là vấn đề tôi cũng vừa thay vào thì ra min =6 mà ông đã sửa rồi
tàn lụi
Để tỉ lệ đúng trong trường hợp có điều kiện các ẩn sao cho phân thứ tỉ lệ tồn tại! Trong TH này ta chỉ nên để tích!
Ừ,mình thấy để tích là ổn,tóm lại là có để tỉ lệ đi thế nào chăng nữa thì bài giải của bạn nhầm mất rồi,Min =6 nhưng Min của bài này là $2\sqrt{5}$
TLongHV
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn $2x-y=2$
Giải tạm thế này, không biết có đúng không
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}\geq \frac{2x}{3}+\frac{y+1}{3}$
$\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{121}{9}}\geq \frac{2x}{3}+\frac{-11(y-3)}{3}=\frac{2x}{3}+11-\frac{11y}{3}$
Suy ra
$P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}\geq\frac{\frac{2x}{3}+\frac{y+1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}+\frac{\frac{2x}{3}+11-\frac{11y}{3}}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$
$=x(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{5\sqrt{5}})-y(\frac{11}{5\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{33}{5\sqrt{5}}$
$=\frac{6}{5\sqrt{5}}(2x-y)+\frac{38}{5\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
Vậy : min$P=2\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2}{3}$ và $y=\frac{-2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 23-07-2013 - 17:03
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2
MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé
Chán quá . Vừa quay lại diễn đàn đã thấy các bác giải hết rồi
1 lời giải khác
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
$$\sqrt{[x^2+(y+1)^2](2^2+1^2)}\geq 2x+(y+1)$$
$$\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2}\geq \frac{2x+y+1}{\sqrt{5}} (1)$$
$$\sqrt{[x^2+(y-3)^2][2^2+(-11)^2]}\geq 2x+(-11)(y-3)$$
$$\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-3)^2}\geq \frac{2x-11y+33}{5\sqrt{5}} (2)$$
Từ (1) và (2) suy ra
$$VT\geq \frac{2x+y+1}{\sqrt{5}}+\frac{2x-11y+33}{5\sqrt{5}}=\frac{6(2x-y)+38}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{2}{3}, y=\frac{-2}{3}$
Nhưng nếu các số bằng 0 thì sao? Khi đó phân thức không tồn tại! BĐT này đúng với Mọi bộ số thực!
Người ta quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử số cũng bằng 0 bạn ạ . Viết theo dạng tỉ lệ thức không có gì là sai cả
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh