Chủ đề này có 16 trả lời

[Nguyễn Hoàng Hảo]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 23-07-2013 - 13:27

[Supermath98]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$

 

----------------------------------------

P/S: CÓ 1 ĐIỀU THẮC MẮC LÀ THAY VÀO Min=6 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 23-07-2013 - 15:31

[phanquockhanh]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

Cách giải dẫn đến sai lầm:

Xét $ \overrightarrow{u} = (x;y+1);$

$\overrightarrow{v}=(-x;3-y)$

Ta có: $ \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}} = \left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |$.

Mặt khác: $\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |\geq \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{(-x)^{2}+(3-y)^{2}}\geq \sqrt{4^2}=4$

Dấu "="xảy ra

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(3-y)=-x(y+1)\\ 2x-y= 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

Thử lại thấy không thỏa  mãn.

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Cách giải phù hợp:

Ta có: $y=2x -2$.Khi đó:

$P= \sqrt{5x^2-4x+1}+\sqrt{5x^2 -20x+25}$

Xét hàm số: $f(x)= \sqrt{5x^2-4x+1}+\sqrt{5x^2 -20x+25}$ trên R.Ta có:

$f'(x)= \dfrac{5x-2}{\sqrt{5x^2-4x+1}}+\dfrac{5x-10}{\sqrt{5x^2-20x+25}}$

$f'(x)=0 $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (5x-2)(5x-10)\leq 0 \\ \left (  \dfrac{5x-10}{\sqrt{5x^2-20x+25}}\right )^2=\left ( \dfrac{5x-2}{\sqrt{5x^2-4x+1}} \right )^2 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{2}{5}\leq x\leq 2\\ 24x^2-16x =0 \end{matrix}\right.$$\Rightarrow x=\frac{2}{3}$

Từ BBT suy ra: $minf(x)=2\sqrt{5}$ khi $x= \frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{-2}{3}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 24-07-2013 - 12:01

[badboykmhd123456]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

áp dụng Mincopxki

$A = \sqrt{(-x)^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(3-y)^2} \geq 4$

p/s: chú Super post nhanh thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 23-07-2013 - 14:54

[Ha Manh Huu]

Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$$\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$

2x-y=2 bạn ạ

[Ha Manh Huu]

các bác xem lại cái sao anh võ quốc bá cẩn giải ra khác nhỉ

[babystudymaths]

Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

Xét $ \overrightarrow{u} = (x;y+1);$

$\overrightarrow{v}=(-x;3-y)$

Ta có: $ \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}} = \left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |$.

Mặt khác: $\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{u} \right |\geq \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{(-x)^{2}+(3-y)^{2}}\geq \sqrt{4^2}=4$

Dấu "="xảy ra

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(3-y)=-x(y+1)\\ 2x-y= 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Kết luận minBT= 4 khi $x=0;y= - 2$

 

 

 

áp dụng Mincopxki

$A = \sqrt{(-x)^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(3-y)^2} \geq 4$

p/s: chú Super post nhanh thế

Tình hình là Min cốp xki ,dấu bằng của nó xảy ra khi các số là các bộ tỉ lệ vs nhau,tức là $\frac{-x}{x}= \frac{y+1}{3-y}= -1$

Thay y=-2 vào ta thấy dấu = không thỏa mãn 

[Supermath98]

Tình hình là Min cốp xki ,dấu bằng của nó xảy ra khi các số là các bộ tỉ lệ vs nhau,tức là $\frac{-x}{x}= \frac{y+1}{3-y}= -1$

Thay y=-2 vào ta thấy dấu = không thỏa mãn 

Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$

[Ha Manh Huu]

Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$

thì cũng là $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

[Supermath98]

thì cũng là $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Nhưng nếu các số bằng 0 thì sao? Khi đó phân thức không tồn tại! BĐT này đúng với Mọi bộ số thực!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 23-07-2013 - 15:22

[babystudymaths]

Bạn ơi chưa hẳn mẫu khác 0 nên ta có dấu bằng của BĐT $\large \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$ là khi ta có: $\large ad=bc$

À là vì mình biết dấu = đúng của nó nên để thế thôi,chứ cứ để bộ tỉ lệ cho dễ hiểu   

[Supermath98]

À là vì mình biết dấu = đúng của nó nên để thế thôi,chứ cứ để bộ tỉ lệ cho dễ hiểu 

Để tỉ lệ đúng trong trường hợp có điều kiện các ẩn sao cho phân thứ tỉ lệ tồn tại! Trong TH này ta chỉ nên để tích!

[Ha Manh Huu]

Áp dụng BĐT Mincopski ta có: $\large A=\sqrt{\left ( -x \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left ( 3-y \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( -x+x \right )^{2}+\left ( y+1+3-y \right )^{2}}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=2 & & \\ x\left ( y+1 \right )=-x\left ( 3-y \right ) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-2 & & \end{matrix}\right.$

 

----------------------------------------

P/S: CÓ 1 ĐIỀU THẮC MẮC LÀ THAY VÀO Min=6 

đấy chính là vấn đề tôi cũng  vừa thay vào thì ra min =6 mà ông đã sửa rồi

[babystudymaths]

Để tỉ lệ đúng trong trường hợp có điều kiện các ẩn sao cho phân thứ tỉ lệ tồn tại! Trong TH này ta chỉ nên để tích!

Ừ,mình thấy để tích là ổn,tóm lại là có để tỉ lệ đi thế nào chăng nữa thì bài giải của bạn nhầm mất rồi,Min =6 nhưng Min của bài này là $2\sqrt{5}$

[Strygwyr]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn $2x-y=2$

Giải tạm thế này, không biết có đúng không

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}\geq \frac{2x}{3}+\frac{y+1}{3}$

$\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{121}{9}}\geq \frac{2x}{3}+\frac{-11(y-3)}{3}=\frac{2x}{3}+11-\frac{11y}{3}$

Suy ra 

$P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}\geq\frac{\frac{2x}{3}+\frac{y+1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}+\frac{\frac{2x}{3}+11-\frac{11y}{3}}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$

$=x(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{5\sqrt{5}})-y(\frac{11}{5\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{33}{5\sqrt{5}}$

$=\frac{6}{5\sqrt{5}}(2x-y)+\frac{38}{5\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Vậy : min$P=2\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2}{3}$ và $y=\frac{-2}{3}$

Spoiler

Cũng may là vừa học mấy cái tham số này xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 23-07-2013 - 17:03

[vutuanhien]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

Chán quá . Vừa quay lại diễn đàn đã thấy các bác giải hết rồi

1 lời giải khác

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

$$\sqrt{[x^2+(y+1)^2](2^2+1^2)}\geq 2x+(y+1)$$

$$\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2}\geq \frac{2x+y+1}{\sqrt{5}} (1)$$ 

$$\sqrt{[x^2+(y-3)^2][2^2+(-11)^2]}\geq 2x+(-11)(y-3)$$

$$\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-3)^2}\geq \frac{2x-11y+33}{5\sqrt{5}} (2)$$ 

Từ (1) và (2) suy ra

$$VT\geq \frac{2x+y+1}{\sqrt{5}}+\frac{2x-11y+33}{5\sqrt{5}}=\frac{6(2x-y)+38}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{2}{3}, y=\frac{-2}{3}$

[vutuanhien]

Nhưng nếu các số bằng 0 thì sao? Khi đó phân thức không tồn tại! BĐT này đúng với Mọi bộ số thực!

Người ta quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử số cũng bằng 0 bạn ạ . Viết theo dạng tỉ lệ thức không có gì là sai cả