164 replies to this topic

[an1907]

CMR : $\frac{-1}{8} \leq \frac{a + b}{(3 + a^{2})(3 + b^{2})} \leq \frac{1}{8}$

[locnguyen2207]

Cho $x, y > 0$. CMR :

$\frac{\left ( x + y + 1 \right )^{2}}{xy + y + x} + \frac{xy + y + x}{\left ( x + y + 1 \right )^{2}} \geq \frac{10}{3}$

   

Đặt $\frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} = a; a > 0 \Rightarrow A = a + \frac{1}{a}$ 

 Ta có: $(x + y + 1)^{2} \geq 3(xy + y + x) \Leftrightarrow \frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + y + x} \geq 3 \Rightarrow a \geq 3$

 Ta lại có: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{8a}{9} + (\frac{a}{9} + \frac{1}{a}) \geq \frac{8}{9}.3 + 2.\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}} = \frac{10}{3} \Rightarrow A \geq \frac{10}{3} (dpcm).$

[cminhnk]

Ai giải gấp giúp em:

Với mọi số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 48$

Edited by cminhnk, 25-09-2015 - 12:50.

[huyson2k]

Bài này làm sao có thể tìm được dấu = để dùng cauchy ạ? Các bác nói em cách tìm dấu = với 

 

Bài 9:

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2}{a+ \sqrt{ab}+ \sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

Giải: $a + \sqrt{\frac{a}{2}.2b} + \sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c} \leq a + \frac{a}{4} + b + \frac{a}{12} + \frac{b}{3} + \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}(a+b+c) => P \geq \frac{3}{2(a+b+c)} - \frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

Edited by huyson2k, 31-10-2015 - 20:09.

[hoangtulaihz]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết  $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$

[NguyenPhuongQuynh]

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 10-12-2015 - 18:09.

[PlanBbyFESN]

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

$P^{2}\geq 3\sum x^{2}= 6036\Rightarrow P\geq \sqrt{6036}$

[PlanBbyFESN]

Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn : $a + b + c = 3$. CMR :

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a} \geq 4$

$\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum a\right )\geq 3\sum a^{2}b$$\Rightarrow \sum a^{2}\geq \sum a^{2}b$

$\Rightarrow \frac{\sum ab}{\sum a^{2}b}$$\geq \frac{\sum ab}{\sum a^{2}}$

Mà $\left ( \sum a \right )^{2}=\sum a^{2}+2\sum ab$

Đặt: $\sum a^{2}=t$

BĐT$\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})-\frac{1}{2}$

      $\geq \frac{3}{2}+3-\frac{1}{2}=4$ (AM-GM)

$\Rightarrow$đpcm

Dấu '=' xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Edited by PlanBbyFESN, 24-12-2015 - 16:19.

[PlanBbyFESN]

Cho $x, y, z > 0$ và $x + y + z = 3$. CMR :

$\frac{x}{x + \sqrt{3x + yz}} + \frac{y}{y + \sqrt{3y + zx}} + \frac{z}{z + \sqrt{3z + xy}} \leq 1$

$\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left ( x+y+z \right )x+yz}=\sqrt{(x+y)(z+x)}$

Áp dung bđt Cauchy-Schwarz:

$\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^{2}}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$

$\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

tt...

$\Rightarrow A\leq \frac{\sum \sqrt{x}}{\sum \sqrt{x}}=1$

(đpcm)

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Edited by PlanBbyFESN, 24-12-2015 - 16:40.

[Fr13nd]

 

 

Bài 2:

Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:

$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$

Lời giải:

$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$

 

 

 

Ai giai thich dc khong

Edited by Fr13nd, 02-01-2016 - 23:36.

[quanganhthanhhoa]

Giúp mình  bài này:

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

[PlanBbyFESN]

Ai giải gấp giúp em:

Với mọi số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 48$

Để ý rằng: $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{24abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ Thay vào Cô si.

 

Bài 2:

Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:

$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$

Lời giải:

$\sum \frac{a^{n}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}(\sum a^{n})(\frac{9}{2(a+b+c)})=\frac{3}{2}(\frac{\sum a^{n}}{\sum a})$

Ai giai thich dc khong

 

Tham khảo bất đẳng thức Chebyshev, bài trên áp dụng thẳng bđt này.

 

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm minP biết  $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$

Dùng phương pháp Cô si ngược:

Ta có:

$\frac{1}{2}-\frac{1}{a^{3}+2}\doteq \frac{a^{3}}{2(a^{3}+1+1)}\leq \frac{a^{3}}{2.3\sqrt[3]{a^{3}.1.1}}\doteq \frac{a^{2}}{6}$

Tương tự...

$\Rightarrow \frac{3}{2} -\sum \frac{1}{a^{3}+2}\leq \frac{\sum a^{2}}{6}\doteq \frac{1}{2}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+2}\geq 1$

$\Rightarrow Min\doteq 1$

[NamTueMinh]

CMR:

Attached Images

• 

[an1712]

$\sum x^2=\sum xy+2\Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sum x^2)\geq \frac{1}{2}(x+y+z)^2+2\geq 2(x+y+z)$

$\Rightarrow 3x(\sum x^2)\geq 4x(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{3x(\sum x^2)}{(x+y+z)^2}\geq \frac{4x}{x+y+z}$

lại có: $\frac{8(y^2+z^2)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}= 4-\frac{4x(y+z)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}\geq 4-\frac{4x(y+z)}{(y+z)^2+x(y+z)}=\frac{4(y+z)}{x+y+z}$

suy ra $P\geq \frac{4x}{x+y+z}+\frac{4(y+z)}{x+y+z}=4$

[chidungdijiyeon]

Đã thật, cái này là THPT hết à??

[Tracy kieu]

Cho x, y, z $> 0$ thỏa mãn : $3xy + yz + 2 zx = 6$

Tìm GTNN của biểu thức:

P= $\frac{1}{1+x^{2}} + \frac{4}{4+y^{2}} + \frac{9}{9+z^{2}}$

[CaoHoangAnh]

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Xét $P^2$ rồi dùng BĐT cơ bản $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

[Tran Thanh Truong]

Mấy dấu gạch cuối cùng là gì vậy?

[kudoshinichihv99]

Cho x, y, z $> 0$ thỏa mãn : $3xy + yz + 2 zx = 6$

Tìm GTNN của biểu thức:

P= $\frac{1}{1+x^{2}} + \frac{4}{4+y^{2}} + \frac{9}{9+z^{2}}$

P=$\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{\frac{4}{y^2}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{9}{z^2}}{\frac{9}{z^2}+1}$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{2}{y}=b,\frac{3}{z}=c=>\left\{\begin{matrix} a+b+c=abc & \\ P=\sum \frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{(abc)^2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}\geq \frac{(abc)^2}{(abc)^2-6\sqrt[3]{(abc)^2}+3} \end{matrix}\right.$

Đến đây xét hàm abc.

[skylerx]

Cho x,y,z