Bài 3 của chủ topic @CD13 đúng là có sự nhầm lẫn ở trường hợp xảy ra dấu bằng.Bài 3 của bạn có vấn đề ở dấu bằng. Dấu bằng không xảy ra ở đó
Tác giả đã viết $x=y=z=1$ đúng ra phải là $x=y=z=\sqrt 3$
Thay vì trích dẫn đúng nội dung, như trong bài viết này, thì bạn @Lee Ziao Jun lại trích dẫn một lô một lốc những bài không liên quan, gây ức chế cho người xem! Mong bạn rút kinh nghiệm.…
Bài 3:
Cho $x,y,z >0$ thỏa điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}$
Lời giải:
Theo $Cauchy$ Ta có:
$$\dfrac{x^5}{y^2}+\dfrac{x^5}{y^2}+\sqrt{3}y^2+\sqrt{3}y^2+3\sqrt{3}\ge \sqrt{3}x^2$$
Cách khác:
Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\frac{x^5}{y^2}+\frac{y^5}{z^2}+\frac{z^5}{x^2}\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$
Sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có
$xy^2+yz^2+zx^2\leqslant \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$
Do đó $P\geqslant \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{9}=3$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
…
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 01-05-2023 - 17:08