Chủ đề này có 4 trả lời

[cobetinhnghic96]

Bài 1

Cho các số a,b,c thỏa mãn hệ sau

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 và ab+bc+ac=1$

CMR

$a,b,c\epsilon \left [ 0,\frac{4}{3}\right ]$

 

Bài 2

Giải hệ

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}=2\sqrt{7}    và   \frac{6}{X+y}+\frac{1}{xy}=1$

 

Bài 3

Cho hệ

$\left ( 1-2m \right )x-2my+5m+8=0 Và x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0$

Tìm m để hệ có 2 nghiệm $\left ( x1,y1 \right )   và    \left ( x2,y2 \right )$ thoẳ mãn

$A=\left ( x1-x2 \right )^{2}+\left ( y1-y2 \right )^{2}$ đạt giá trị min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 26-07-2013 - 20:11

[dangthanhnhan]

Bài 1

Cho các số a,b,c thỏa mãn hệ sau

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 và ab+bc+ac=1$

CMR

$a,b,c\epsilon \left [ \frac{-4}{3} ,\frac{4}{3}\right ]$

 

Bài 2

Giải hệ

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}=2\sqrt{7}    và   \frac{6}{X+y}+\frac{1}{xy}=1$

 

Bài 3

Cho hệ

$\left ( 1-2m \right )x-2my+5m+8=0 Và x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0$

Tìm m để hệ có 2 nghiệm $\left ( x1,y1 \right )   và    \left ( x2,y2 \right )$ thoẳ mãn

$A=\left ( x1-x2 \right )^{2}+\left ( y1-y2 \right )^{2}$ đạt giá trị min

[dangthanhnhan]

Theo bài ra ta có:

$a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\sqrt{2+2.1}=\sqrt{4}=2$

suy ra: b+c=2-a; bc=1-a(b+c)=1-a(2-a)=1-2a+a²

Áp dụng BĐT (b+c)²$\geq$ ta được:

(2-a)²$\geq$4(1-2a+a²⁾

suy ra: 4a-3a²$\geq$0

suy ra:

a$\geq$0
hoặc a$\geq$$\frac{4}{3}$

suy ra a$\in \left \left [ 0;\frac{4}{3} \right ]$

tương tự với b,c

vậy a,b,c$\in \left \left [ 0;\frac{4}{3} \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangthanhnhan: 23-07-2013 - 21:42

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2. Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \dfrac{1}{y^2}} = 2\sqrt{7}\\\dfrac{6}{x + y} + \dfrac{1}{xy} = 1\end{matrix}\right.$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\left ( x - \dfrac{1}{x}\right )^2 + 2} + \sqrt{\left (y - \dfrac{1}{y} \right)^2 + 2} = 2\sqrt{7}\\6 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = x + y\end{matrix}\right.$

 

Đặt $a = x - \dfrac{1}{x}; b = y - \dfrac{1}{y}$, ta được:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^2 + 2} + \sqrt{b^2 + 2} = 2\sqrt{7}\\a + b = 6\end{matrix}\right.$

 

Đây là phương trình đối xứng loại 1. Bạn tự giải tiếp nhé.

 

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3.

Giải

Ta viết lại phương trình (2) dưới dạng: 

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Nếu coi phương trình (1) là phương trình đường thẳng (d), phương trình (2) là phương trình đường tròn © có tâm $I(-3; 1)$, bán kính $R = 2$.

Thì khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:

“Tìm m để khoảng cách giữa hai giao điểm của (d) và © là nhỏ nhất”

Vì R không đổi nên điều này tương đương:

“Tìm m để khoảng cách từ I(-3; 1) đến d lớn nhất“

Ta có:

$d_{(I; d)} = \dfrac{|-3(1 - 2m) - 2m + 5m + 8|}{\sqrt{(1 - 2m)^2 + 4m^2}} = \dfrac{|9m + 5|}{\sqrt{8m^2 - 4m + 1}}$

 

Đến đây thì bài toán đã đi được 1 nửa chặng đường. Phần còn lại thì tớ nghĩ có thể sử dụng PP miền giá trị (THCS) hoặc đạo hàm (THPT) để giải.
Sorry vì rất không giỏi phần BĐT

Bạn thử giải tiếp nhé!