Chủ đề này có 1 trả lời

[shinichikudo201]

Mong các bạn giải hộ mình bài này:

a,b,c>0.C/m:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2$

Mình học lớp 8. Thanks nhiều.

 

[Vo Sy Nguyen]

Mong các bạn giải hộ mình bài này:

a,b,c>0.C/m:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2$

Mình học lớp 8. Thanks nhiều.

 

a>0, b>0, c>0 nên a+b+c>0

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

$\sqrt{\frac{b+c}{a} . 1}\leq (\frac{b+c}{a}+1):2 = \frac{b+c+a}{2a}$

 

Vì vậy nên

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$   (1)

 

Tương tự,  ta cũng có

$\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$   (2)

 

Và

$\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c}$   (3)

 

Từ 1, 2 và 3, cộng vế theo vế, ta có

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{a+c}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$

 

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix}c=a+b \\ a=b+c \\ b=a+c \end{matrix}\right.$  

 

 

$\Rightarrow a+b+c=0$  (mâu thuẫn vì a+b+c$>$0)

Vậy đẳnh thức không xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 24-07-2013 - 09:26