Chủ đề này có 2 trả lời

[VDKAkam]

Giải hệ  phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} y^3-6x^2+12x-8=0 & \\ z^3-6y^2+12y-8=0 & \\ x^3-6z^2+12z-8=0 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 26-07-2013 - 21:26

[SOYA264]

Hệ phương trình đã cho có thể viết lại thành:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^3=6x^2-12x+8=6(x-1)^2+2 & & \\ z^3=6y^2-12y+1=6(y-1)^2+2 & & \\ x^3=6z^2-12z+1=6(z-1)^2+2 & & \end{matrix}\right.$

 

Từ đây, dễ thấy $x,y,z>1$

 

Xét hàm: $f(t)=6t^2-12t+8$ trên $(1;+\infty )$

 

Từ hệ, ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} y^3=f(x) & & \\ z^3=f(y) & & \\ x^3=f(z) & & \end{matrix}\right.$

 

Ta có: $f'(t)=12t-12> 0,\forall t>1$

 

$\Rightarrow$ Hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$

 

Không mấ́t tí́nh tổ̉ng quá́t, giả̉ sử̉ z=max{x;y;z}

Ta có:

 

$z\geq y\Rightarrow f(z)\geq f(y)\Rightarrow x^3\geq y^3\Rightarrow x\geq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Rightarrow y^3\geq z^3\Rightarrow y\geq z\Rightarrow x\geq y\geq z\geq y\Leftrightarrow x=y=z$

 

Thay vào pt ta được:

 

$x^3-6x^2+12x-8=0\Leftrightarrow (x-2)^{3}=0\Leftrightarrow x=2$ (thỏa)

 

Vậy hệ đã cho có một nghiệm $(x;y;z)=(2;2;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 26-07-2013 - 21:27

[sonnguyenquang]

cộng 3 phương trình lại ta sẽ được (x-2)^3 +(y-2)^3 +(z-2)^3 = 0

lúc đó .. nếu x>2 => y^3 - 8 = 6x(x-2) > 0 => y>2 .cm tương tự ta sẽ có z>2 

            suy ra (x-2)^3 + (y-2)^3 + (z-2)^3 > 0

             cm tương tự với trường hợp x<2 sẽ suy ra (x-2)^3 +(y-2)^3 +(z-2)^3 < 0

      vậy dấu ''='' xảy ra <=> x=y=z=2