Chủ đề này có 3 trả lời

[viendanho98]

cmr neu$\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}voi x\neq y,yz\neq 1,xz\neq 1,x,y,z\neq 0$

$thi x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[Gemini Shin]

 

Ta có: $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}\Leftrightarrow \frac{x^2-yz}{x-xyz}=\frac{y^2-xz}{y-xyz}$

và: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow x+y+z=\frac{xy+xz+yz}{xyz}\Leftrightarrow xyz=\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}$

Giả sử: Với $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}$ thì $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{x^2-yz}{x-\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}}=\frac{y^2-xz}{y-\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}}\Leftrightarrow \frac{x^2-yz}{\frac{x^2+xy+xz-xy-xz-yz}{x+y+z}}=\frac{y^2-xz}{\frac{xy+y^2+yz-xy-xz-yz}{x+y+z}}\Leftrightarrow (x^2-yz).\frac{x+y+z}{x^2-yz}=(y^2-xz).\frac{x+y+z}{y^2-xz}\Leftrightarrow x+y+z=x+y+z$ (điều hiển nhiên) 

Vậy giả thiết lúc đầu đúng => đpcm

[babystudymaths]

Ta có :$\frac{x^{2}-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^{2}-zx}{y(1-xz)}= \frac{x^{2}-yz-y^{2}+xz}{x-xyz-(y-xyz)}=\frac{(x-y)(x+y+z)}{x-y}\doteq x+y+z$

Ta lại có :$\frac{x^{2}-yz}{x(1-yz)}= \frac{y^{2}-zx}{y(1-xz)}=\frac{x^{2}yz-(yz)^{2}}{xyz(1-yz)}=\frac{y^{2}xz-(xz)^{2}}{xyz(1-xz)}= \frac{x^{2}yz-(yz)^{2}-y^{2}zx+(xz)^{2}}{xyz(1-yz-1+xz)}= \frac{(xz-yz)(xy+yz+zx)}{(xz-yz)xyz}= \frac{xz+yz+xz}{xyz}= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

             =>x+y+z=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 29-07-2013 - 21:35

[letankhang]

cmr neu$\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}voi x\neq y,yz\neq 1,xz\neq 1,x,y,z\neq 0$

$thi x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Từ giả thiết suy ra :

$gt=>x^{2}y-x^{3}yz-y^{2}z+xy^{2}z^{2}=xy^{2}-xy^{3}z-x^{2}z+x^{2}yz^{2}=>xy(x-y)+z(x^{2}-y^{2})=xyz^{2}(x-y)+xyz(x^{2}-y^{2})=>(x-y)(xy+xz+yz)=xyz(x-y)(z+x+y)$

Chia 2 vế cho $xyz(x-y)\neq 0$

$=>x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ $(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 28-07-2013 - 22:20