Chủ đề này có 389 trả lời

[Near Deilarter]

Bài 91: Cho x,y,z là số thực dương. Chứng minh

$\frac{5x^3-y^3}{xy+3x^2}+\frac{5y^3-z^3}{zy+3y^2}+\frac{5z^3-x^3}{zx+3z^2}\leq x+y+z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25 minutes: 24-07-2015 - 10:01

[lahantaithe99]

Cho x,y,z là số thực dương. Chứng minh

$\frac{5x^3-y^3}{xy+3x^2}+\frac{5y^3-z^3}{zy+3y^2}+\frac{5z^3-x^3}{zx+3z^2}\leq x+y+z$

Áp dụng công thức $x^3+y^3\geq xy(x+y)\Rightarrow y^3\geq xy(x+y)-x^3$

Do đó $\frac{5x^3-y^3}{xy+3x^2}\leq \frac{6x^3-xy(x+y)}{xy+3x^2}=\frac{6x^2-xy-y^2}{y+3x}=2x-y$

Làm tương tự như vậy đối với các phân thức còn lại ta được

$\frac{5x^3-y^3}{xy+3x^2}+\frac{5y^3-z^3}{zy+3y^2}+\frac{5z^3-x^3}{zx+3z^2}\leq 2x-y+2y-z+2z-x=x+y+z$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$

[pqqsang]

Bài 92: Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1

Tìm GTLN của:

S=$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{\sqrt{xyz}}{(z+xy)(\sqrt{1-3z}+1)}+3z$

[pqqsang]

Bài 93: Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1

Tìm GTLN của:

S=$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}-\frac{1}{z+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pqqsang: 11-01-2014 - 20:38

[Trannhuphuc]

Bài 94 : Cho x,y,z là các số thực không âm và thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+ \sqrt{1+2y} + \sqrt{1+2z} = 5$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức $P= 2x^3 + y^3 + z^3$

 

MOD : Chú ý Latex 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 14-01-2014 - 16:13

[25 minutes]

Bài 94 : Cho x,y,z là các số thực không âm và thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+ \sqrt{1+2y} + \sqrt{1+2z} = 5$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức $P= 2x^3 + y^3 + z^3$

 

MOD : Chú ý Latex 

Trước hết ta có bất đẳng thức phụ sau: 

Với $a,b$ không âm thì $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\geqslant 1+\sqrt{1+a+b}$

.......................................................................................

Áp dụng ta có $5=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}\geqslant 1+\sqrt{1+x^2+2y}+\sqrt{1+2z}\geqslant 2+\sqrt{1+x^2+2(y+z)}$

$\Rightarrow x^2+2(y+z)\leqslant 8\Rightarrow y+z\leqslant \frac{8-x^2}{2}$

Trở lại bài toán ta có $P\leqslant 2x^3+(y+z)^3\leqslant 2x^3+(\frac{8-x^2}{2})^3$

Từ giả thiết ta có $x \in \left [ 0;2\sqrt{2} \right ]$

Xét $f(x)=2x^3+(\frac{8-x^2}{4})^3$ ta có $f(x)\leqslant 64\Rightarrow P\leqslant 64$

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(0,0,4)=(0,4,0)$

[Jupiter_1996]

Bài 95: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca=4$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 16-01-2014 - 18:22

[Trang Luong]

Bài 95. Cho $a,b,c>0;a\leq b\leq 3\leq c;c\geq b+1;a+b\geq c$. Tìm min $Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

[phuonglien99]

Bài 96 :

           

            Cho a,b,c$\geq 0$ thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

             

              Tìm max:  P =$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonglien99: 04-02-2014 - 08:51

[phuonglien99]

Bài 97:  Cho$a,b,c> 0$ thoả mãn a+b+c=1 .Tìm min :

                                   $A =a^{3}\sqrt{a}+b^{3}\sqrt{b}+c^{3}\sqrt{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonglien99: 03-02-2014 - 17:50

[toilatuan96]

Bài 98 Cho các số thực không âm a.b.c thỏa mãn A+B+C=3.Tìm GTNN của biểu thức

$2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right ) +3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+4abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilatuan96: 07-02-2014 - 23:04

[25 minutes]

Bài 97:  Cho$a,b,c> 0$ thoả mãn a+b+c=1 .Tìm min :

                                   $A =a^{3}\sqrt{a}+b^{3}\sqrt{b}+c^{3}\sqrt{c}$

Áp dụng BĐT Holder ta có 

         $A.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(1+1+1)(1+1+1) \geqslant (a+b+c)^4$

Và AM-GM $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant \sqrt{3(a+b+c)}=\sqrt{3}$

   $\Rightarrow A\geqslant \frac{\sqrt{3}}{27}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[bathoi2014]

Bài 100 Cho x, y, z là các số dương thoả: $3\leq x,y,z\leq 5$. Chứng minh: $\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}> x+y+z$

[25 minutes]

Bài 100 Cho x, y, z là các số dương thoả: $3\leq x,y,z\leq 5$. Chứng minh: $\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}> x+y+z$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt{1+xy}\geqslant \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow 4\geqslant (x-y)^2$

Luôn đúng do $x,y \in \left [ 3,5 \right ]$

Đẳng thức không xảy ra 

[nguyenhongsonk612]

4) với x,y,z >0 CMR

$A=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+y+x}\leq \frac{3}{4}$ 

Mình xin trình bày bài dễ nhất!!!

Áp dụng BĐT S-vác ta có:

$A\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{z}{z+x})= \frac{3}{4}$

Dấu "=" khi $x=y=z$

[lahantaithe99]

Cho ba số thực dương x.y.z. Tìm GTNN của biểu thức:

P = $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}$

Ta có

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$ (BĐT Nesbit) $(1)$

 

$\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xuz}}\geqslant 3\sqrt[3]{8}=6$ $(2)$

 

(áp dụng BĐT $AM-GM$)

 

Từ $(1);(2)\Rightarrow VT\geqslant \frac{15}{2}$

[daicahuyvn]

cho e hỏi cách làm bài này ạ
 cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a+b+c =3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 $P= \sqrt{a^{2}+a+4} + \sqrt{b^{2}+b+4} +\sqrt{c^{2}+c+4}$
 
 

Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+4}$

Ta sẽ CM $f(x)+f(y)\le f(x+y)+f(0)$ với $0\le x,y; x+y\le 3$

$\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{y^2+y+4}\le 2+\sqrt{(x+y)^2+(x+y)+4}$

$\Leftrightarrow xy+2\sqrt{(x+y)^2+(x+y)+4}\ge \sqrt{(x^2+x+4)}\sqrt{y^2+y+4}$

Vì $xy\ge 0$ nên chỉ cần CM $4[(x+y)^2+(x+y)+4]\ge (x^2+x+4)(y^2+y+4)$

$\Leftrightarrow 7xy\ge x^2y^2+xy(x+y)\Leftrightarrow x+y+xy\le 7$(đúng vì $x+y\le 3$ và $xy\le \frac{(x+y)^2}{4}\le \frac{9}{4}$)

Từ đó suy ra $P=f(a)+f(b)+f(c)\le f(0)+f(a+b)+f(c)\le f(0)+f(0)+f(a+b+c)=2f(0)+f(3)=8$

P=8 khi (a,b,c)=(0,0,3) hoặc các hoán vị

Vậy $\max P=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 26-04-2014 - 19:09

[daicahuyvn]

Bài 96 :

           

            Cho a,b,c$\geq 0$ thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

             

              Tìm max:  P =$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc$

Giả sử b nằm giữa a và c. Ta có $a(a-b)(b-c)\ge 0\Rightarrow ab^2+ca^2-abc\le a^2b$

$\Rightarrow P\le b(a^2+c^2)\Rightarrow P^2\le  b^2(c^2+a^2)^2\le \frac{1}{2} (\frac{2b^2+a^2+c^2+a^2+c^2}{3})^3=4$

$\Rightarrow P\le 2$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Vậy max P=2

[daicahuyvn]

Bài 98 Cho các số thực không âm a.b.c thỏa mãn A+B+C=3.Tìm GTNN của biểu thức

$2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right ) +3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+4abc$

Đặt P= 2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc

$P=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+4abc$

$=(a+b+c)^3-2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)=27-2T$

Làm tương tự bài trên, gs b nằm giữa a và c suy ra $ab^2+ca^2\le abc+a^2b$

$\Rightarrow T\le a^2b+bc^2+2abc=b(a+c)^2=\frac{1}{2}(\frac{2b+a+c+a+c}{3})^3=4$

$\Rightarrow P\ge 19$

Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)= (1,1,1) hoặc (0,1,2); (1,2,0); (2,0,1)

Min P=19

[daicahuyvn]

Bài 95. Cho $a,b,c>0;a\leq b\leq 3\leq c;c\geq b+1;a+b\geq c$. Tìm min $Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài này là đề thi vào 10 KHTN năm 2012 vòng 1

Rút gọn $Q=1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge 1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+a+b}=\frac{ab}{a+b+1}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})$

Ta có: $a+b\ge c\ge 3; a+b\ge c\ge b+1\Rightarrow b\ge a \ge 1$

Đặt s=a+b, p=ab

$(a-1)(b-1)\ge0 \Rightarrow s\le p+1$ và $p=(1+a-1)(1+b-1)=1+a+b-2+(a-1)(b-1)\ge 2$

Do đó $Q\ge \frac{ab(a+b+2)}{(a+b+1)(a+b+ab+1)}=\frac{p(s+2)}{(s+1)(s+p+1)}\ge \frac{p(s+2)}{2(s+1)(p+1)}$

Dự đoán min Q đạt được khi a=1,b=2,c=3

Ta sẽ Cm $\frac{p(s+2)}{(p+1)(s+1)}\ge \frac{5}{6}$ hay $p(s+7)\ge 5(s+1)$

Lại có $p(s+7)\ge 10p$ và $5(s+1)\le 5(p+2)$, vì vậy chỉ cần CM $10p\ge 5(p+2)\Leftrightarrow p\ge 2$(đúng)

Vậy min Q=5/12

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 29-04-2014 - 21:41