Chủ đề này có 389 trả lời

[tim1nuathatlac]

Tim1nuathatlac xin góp 2 bài

 

Bài toán 73: Cho $x,y,z$ không âm thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm max của $P=6\left ( y+z-x \right )+27xyz$

 

Bài toán 74: Cho $x,y,z$ dương thỏa $xyz=1$. Tìm max của $P=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

 

---------------------

Đã sửa lại đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 13-10-2013 - 08:28

[daicahuyvn]

Tim1nuathatlac xin góp 2 bài

 

Bài toán 73: Cho $x,y,z$ không âm. Tìm max của $P=6\left ( y+z-x \right )+27xyz$

 

Bài toán 74: Cho $x,y,z$ dương thỏa $xyz=1$. Tìm max của $P=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

73.Cho x=y=1, khi đó P=33z

Cho $z\to +\infty$ thì $P\to +\infty$

Cho $y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{9}$ thì $P=\frac{8}{3}-5x$

Cho $x\to +\infty$ thì $P\to -\infty$

74.Giả sử $z=max\{x,y,z\}$.Ta có $xy\le1,z \ge1$

$P\le \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=f(z)$

$f'(z)=\frac{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}-(z^2+z)\sqrt{z^2+z}}{(z+1)(z^2+1)\sqrt{z(z+1)(z^2+1)}}\le 0$

$f(z)\le f(1)=\frac{3}{\sqrt{2}}$

$P=\frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\max P=\frac{3}{\sqrt{2}}$

[ndthai]

Bài 71 : Cho $a,b,c \geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{16}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1}}+\frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}$

Trước hết ta chứng minh $$a+b+c\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2.$$

Giả sử $a=\min{\{a, b, c\}}$. Đặt $f(a, b, c)=a+b+c-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2$, $t=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}$. 

Ta có $a\in [0; 1]$, $b^2+c^2\geq 2$, $b+c\geq \sqrt{2}$, $t=\sqrt{\dfrac{3-a^2}{2}}$ và 

$$f(a, b, c)-f(a, t, t)=(b-c)^2\left(\dfrac{(b+c)^2}{4}-\dfrac{1}{b+c+\sqrt{2(b^2+c^2)}}\right)\geq 0.$$

Do đó 

$$f(a, b, c)\geq f(a, t, t)=a+\sqrt{2(3-a^2)}-a^2(3-a^2)-\left(\dfrac{3-a^2}{2}\right)^2$$

$$=(a-1)^2\left(\dfrac{3}{4}(a+1)^2-\dfrac{3}{3-a+\sqrt{2(3-a^2)}}\right)\geq 0.$$

Đặt $s=a+b+c$, ta có $s\in [\sqrt{3}; 3]$, $ab+bc+ca=\dfrac{s^2-3}{2}$. 

 

Vì $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq a+b+c$ nên 

$$P\geq \dfrac{16}{\sqrt{a+b+c+1}}+\dfrac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}=\dfrac{16}{\sqrt{s+1}}+\dfrac{s^2-1}{2s}=g(s).$$

Ta có $$g'(s)=-\dfrac{8}{(s+1)\sqrt{s+1}}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2s^2}<0, \forall s\in [\sqrt{3}; 3].$$

Nên $g(s)$ nghịch biến trên $[\sqrt{3}; 3]$. Do đó $g(s)\geq g(3)=\dfrac{28}{3}$. Thành thử $P\geq \dfrac{28}{3}$. 

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. Vậy GTNN của $P$ bằng $\dfrac{28}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ndthai: 13-10-2013 - 08:27

[25 minutes]

Tiếp thêm 1 bài nữa

Bài 75 : Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+2=c$

Tìm GTLN của $P=\frac{a^3b^3}{(2a+bc)(2b+ca)(2c+ab)^2}$

                                     Đề Toán học tuổi trẻ

[daicahuyvn]

Bài toán 73: Cho $x,y,z$ không âm thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm max của $P=6\left ( y+z-x \right )+27xyz$

 

 

P=6(y+z)+x(27yz-6)

Th1.$27yz-6\le 0$

$P\le 6\sqrt{2(y^2+z^2)}\le 6\sqrt{2}<10$

Th2.$27yz-6>0$

$P\le 6\sqrt{2(y^2+z^2)}+x[\frac{27}{2}(y^2+z^2)-6]=6\sqrt{2-2x^2}+\frac{15}{2}x-\frac{27}{2}x^3=f(x)$

$f'(x)=\frac{-3}{2}(27x^2+\frac{8x}{\sqrt{2-2x^2}}-5)$

Vì f'(x) giảm trên[0;1] và $f'(\frac{1}{3})=0$ nên pt f'(x)=0 có nghiệm duy nhất trên [0;1]là $\frac{1}{3}$ và $f(x)\le f(\frac{1}{3})=10$

$P=10$ khi $x=\frac{1}{3}, y=z=\frac{2}{3}$

Vậy $\max P=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 13-10-2013 - 15:16

[daicahuyvn]

$P=\frac{a^3b^3}{(a+b)^2(a+2)^3(b+2)^3}\le \frac{a^2b^2}{4(a+2)^3(b+2)^3}$

$f(x)=\frac{x^2}{(x+2)^3}$

$f(x)\le \frac{2}{27}\Leftrightarrow (x-4)^2(2x+1)\ge 0$

$P\le \frac{1}{729}$

$P=\frac{1}{729}\Leftrightarrow a=b=4,c=10$

$\max P=\frac{1}{729}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 13-10-2013 - 16:17

[25 minutes]

Bài 76 : Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+18b^2=a^2+16b^3$

Tìm GTNN của $P=a+b+\frac{6}{ab}$

                                             ---Onluyentoan---

[bitatthoi]

 

Góp thêm một bài dùng đạo hàm:

Bài 11: Cho x,y,z $\in \left [ 0;4 \right ]$ thoả $xyz$=1

 

Tìm GTLN của biểu thức : $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}$

 

 

 

 

PS: Bạn nhớ đánh số bài vào nhé

 

Giả sử $x\geq 1 => yz\leq 1$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^2})}$

$\leq \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\sqrt{\frac{4}{1+yz}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$

$=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}})}$

Xét $f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{1+t}} t\epsilon(0,1] $=> $P\leq f(1)=\frac{3}{\sqrt{2}} $=>$ Pmax=\frac{3}{\sqrt{2}}$ khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 27-10-2013 - 20:37

[daicahuyvn]

p=x+y+z,q=xy+yz+zx

$x^3+y^3+z^3=3xyz+2\Leftrightarrow p^3-3pq=2\Leftrightarrow q=\frac{p^3-2}{3p}$

$q\ge 0\Rightarrow p\ge \sqrt[3]{2}$

$P\ge x^2+y^2+z^2=p^2-2q=p^2-\frac{2(p^3-2)}{3p}=\frac{p^3+4}{3p}=f(p)$

$f'(p)=\frac{2(p^3-2)}{3p^2}\ge 0$

$f(p)\ge f(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{4}$

$P=\sqrt[3]{4} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2},y=z=0$

$\min P =\sqrt[3]{4}$

[pqqsang]

Bài 77

Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) sao cho xy+yz+xz=1.

Tìm gtnn của

S=$\frac{z^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pqqsang: 03-11-2013 - 15:53

[25 minutes]

Bài 77

Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) sao cho xy+yz+xz=1.

Tìm gtnn của

S=$\frac{z^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Tham khảo tại đây

[Ispectorgadget]

Lâu không đụng BĐT

Bài 78: Cho $a,b,c \ge \frac{4}{3}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm GTLN $$A=\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}$$

Bài 79: Cho $a,b,c$ thực và $c>0$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=3c^2$. Chứng minh $a^3+b^3+4abc\le 6c^3$
Bài 80: Cho $a,b,c>0$ thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $$A=\sqrt{a^2+5}+\sqrt{b^2+5}+\sqrt{c^2+5}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-11-2013 - 00:26

[25 minutes]

Bài 80: Cho $a,b,c>0$ thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $$A=\sqrt{a^2+5}+\sqrt{b^2+5}+\sqrt{c^2+5}$$

Từ giả thiết và áp dụng AM-GM ta có 

              $\frac{3}{2}=\frac {1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geqslant 6$

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có 

            $\sum \sqrt{a^2+5}\geqslant \sqrt{(a+b+c)^2+(3\sqrt{5})^2}\geqslant \sqrt{6^2+(3\sqrt{5})^2}=9$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

[25 minutes]

Bài 79: Cho $a,b,c$ thực và $c>0$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=3c^2$. Chứng minh $a^3+b^3+4abc\le 6c^3$

Từ giả thiết, chia cả $2$ vế cho $c^2>0$ ta được $\frac{a^2}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=3$

Đặt $\frac{a}{c}=x,\frac{b}{c}=y\Rightarrow x^2+xy+y^2=3$

Ta cần chứng minh $x^3+y^3+4xy \leqslant 6$

Khi đó ta chỉ cần xét các trường hợp sau 

TH1: $x,y>0$

TH2: $x,y<0$

TH3: $xy <0$

Do cách làm là như nhau nên ta sẽ chứng minh trong $1$ trường hợp $x,y>0$

Đặt $x+y=S, xy=P$, $\Rightarrow S^2-P=3\Rightarrow P=S^2-3$

Ta cần chứng minh $x^3+4xy+y^3 \leqslant 6\Leftrightarrow S^3-3SP+4P \leqslant 6$

                        $\Leftrightarrow S^3-3S(S^2-3)+4(S^2-3)\leqslant 6$

                        $\Leftrightarrow (S-2)(2S^2-9) \geqslant 0$  (*)

Từ giả thiết áp dụng AM-GM ta có $3=x^2+xy+y^2 \geqslant \frac{3(x+y)^2}{4}\Rightarrow S=x+y \leqslant 2$

Vậy (*) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=c>0$

[tiendatlhp]

BÀI 81:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+2y+1}+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất của P=$x^{4}+y^{4}+z^{4}$

[caybutbixanh]

Bài 82 : Cho :

$\left\{\begin{matrix} 0< x< y\leq z\leq 1\\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của $B=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 15-11-2013 - 00:48

[tim1nuathatlac]

Lâu không đụng BĐT

Bài 78: Cho $a,b,c \ge \frac{4}{3}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm GTLN $$A=\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}$$

 

 

Sử dụng phép tách hàm số ta cm được:

$\frac{a^{2}+1}{a}\leq \frac{5}{2}+\frac{3}{16}\left ( a^{2}-4 \right )$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-2 \right )^{2}\left ( 3a-4 \right )\geq 0$

 

$\Rightarrow p\leq \frac{15}{2}+\frac{3}{16}\left ( \sum a^{2}-12 \right )=\frac{15}{2}$

[thaoteen21]

bài 83:

cho x,y,z >o và x²+y²+z²=1.

CMR: $\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\geqslant \frac{3}{2}$

^^

[BoFaKe]

bài 83:

cho x,y,z >o và x²+y²+z²=1.

CMR: $\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\geqslant \frac{3}{2}$

^^

Với $x=y=\frac{1}{2};z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì bất đẳng thức sai,đề phải là :

$\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\leq \frac{3}{2}$

[Trannhuphuc]

Bài này làm sao vậy mọi người .... giúp e nha cảm ơn hihi

 

Bài 12:  Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2 +ac +a^2} =1$

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  S  = a + b + c