Chủ đề này có 389 trả lời

[hoangtubatu955]

Cho ba số a,b,c> 0 và a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+6\sqrt{abc}\leqslant 9$

Ta có bất đẳng quen thuộc sau:
$(ab+bc+ca)^2 \le  3abc(a+b+c)=9abc$. Từ đây ta có: $ab+bc+ca \le 3\sqrt{abc}$
Do đó thì:
$a^2+b^2+c^2 \le a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$

[25 minutes]

*** Topic này hay minh xin góp 1 bài :
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=12$.
Tìm GTNN của biểu thức : $a^3 + b^3 + 2c^3$

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có ngay

        $(a^3+b^3+2c^3)(a^3+b^3+2c^3)(1+1+\frac{1}{4})\geqslant (a^2+b^2+c^2)^3$

$\Rightarrow a^3+b^3+2c^3\geqslant \sqrt{768}$

[25 minutes]

Mình tìm trên mạng thấy bài này khá hay.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương sao cho tổng $2$ số bất kì luôn lớn hơn $\frac{5}{4}$ lần số còn lại

Chứng minh rằng: $5\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\geqslant 4\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+3$

[xdtt3]

 

CodeCogsEqn.pngcho a, b, c là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

Xin lỗi nha, mình ẩu quá, sửa lại thành thế này nhé:

Đặt  $x^2=\sqrt{\frac{b+c}{a}}; y^2=\sqrt{\frac{a+c}{b}}; z^2=\sqrt{\frac{a+b}{c}}. \Rightarrow P=x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2 +\frac{9}{x+y+z}$

 

Đặt $t=x+y+z\Rightarrow t\geq 3\sqrt[4]{2}$

 Đến đây đạo hàm được chứ?????????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xdtt3: 14-12-2014 - 18:52

[25 minutes]

Tìm giá lớn nhất nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1+cosx}+\sqrt[3]{sinx}+\sqrt[3]{cosx}$ trên $[0;\pi ]$

Dễ thấy trên $[0, \pi]$ thì $\sin x \geqslant -1, \cos x \geqslant 0$

Vì thế $\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\cos x}+\sqrt[3]{\sin x}+\sqrt[3]{\cos x}\geqslant \sqrt{1+(-1)}+\sqrt{1+0}+\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{0}=0$

Đẳng thức xảy ra khi $x= \pi$

[25 minutes]

 $sinx\geq 0;cosx\geq -1$ chứ ạ!

còn GTLN thì sao ạ ???

Ừ, mình nhầm mất trục $\sin, \cos$

Nếu yêu cầu tìm GTLN thì có thể làm thế này.

Dễ thấy $t=\sin x+\cos x\leqslant \sqrt{2(\sin^2x+\cos^2x)}=\sqrt{2}$

Áp dụng AM-GM ta có 

                $P\leqslant 2\sqrt{\frac{1+\sin x+1+\cos x}{2}}+2\sqrt[3]{\frac{\sin x+\cos x}{2}}\leqslant 2\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}+2\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\sin x=\cos x>0$, hay $x=\frac{\pi}{4}$

[quan1234]

Cho a+b+c=3, a, b, c là các số không âm

CM $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c{2}}$+$\frac{2009}{ab+bc+ac}\geq 670$

 

Ta có:$ab+ bc+ ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2007}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=670$

[xdtt3]

Cho  3 số không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3 và a$\geq$c

Tìm GTNN của biểu thức P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{2}{(b+1)^{2}}+\frac{3}{(c+1)^{2}}

Cho  3 số không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3 và a≥c
Tìm GTNN của biểu thức
$P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{2}{(b+1)^{2}}+\frac{3}{(c+1)^{2}}\Rightarrow P\geq 2[\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(a+1)^2}]=\sum \frac{32(3-a)^2}{16(1+a)^2(3-a)^2}\geq \sum \frac{32(3-a)^2}{(1+a+3-a)^4}=\sum \frac{32(a-3)^2}{256}\geq \frac{32(a+b+c-9)^2}{768}$

Đến đây thì dễ rồi. Hihihihhiihihihihihihih

[25 minutes]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1, tìm giá trị nhỏ nhất của P= $3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Đề khối B-2010

Hình gửi kèm

• 

[25 minutes]

với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn abc=1, tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\frac{1}{(a+1)^{2}} + \frac{1}{(b+1)^{2}}+ \frac{4}{3(c+1)^{3}}$

Áp dụng BĐT phụ sau

                $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Chứng minh bđt trên bằng biến đổi tương đương.

Khi đó $P\geqslant \frac{1}{1+ab}+\frac{4}{3(1+c)^3}=\frac{c}{1+c}+\frac{4}{3(1+c)^3}=\frac{c^3+2c^2+c+\frac{4}{3}}{(1+c)^3}=f(c)$

Bây giờ khảo sát hàm số $f(c)$

[25 minutes]

Bài này mọi người thử giải bằng đạo hàm xem thế nào 
Cho a,b,c không âm,a+b+c=1.Chứng minh: $$a{(b - c)^4} + b{(c - a)^4} + c{(a - b)^4} \le \frac{1}{{12}}$$

Tham khảo ở đây

[TMW]

Bài 1 :  Ch0 $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của $P=a^2b^2c^2$

Cái gì chứ topic này là tớ ủng hộ à

Bài 1 tham khảo tại đây http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

Đặt  $P=a^{2}b^{2}c^{2}$ thì $\frac{P}{c^{2}}=a^{2}b^{2}\leq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{4}=\frac{(1-c^{2})^{2}}{4}$

Suy ra: $4P\leq c^{2}(c^{2}-1)^{2}$

Ta đặt $t = c^{2}$ thì c không âm. Khảo sát hàm $f(t)=t^{3}-2t^{2}+t$ . 

f'(t) = 0 có nghiệm 1 và 1/3

P\s:

         Thực ra không cần dài dòng như vậy: P luôn không âm, ta chỉ ra một dấu "=" cho nó là đủ, chẳng hạn (a,b,c) = (-2015,2015,0)

[kudoshinichihv99]

Cho a,b,c là các số thực abc=1 .CMR:

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ac}$

[trauvang97]

Cho a,b,c là các số thực abc=1 .CMR:

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ac}$

 

Ta có:                                               $3(a+b+c)=3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$

 

Do đó:                                               $\frac{1}{3(a+b+c)}\geq \frac{1}{(ab+bc+ca)^2}$

 

Khi đó thì:

 

                                                         $1+\frac{3}{a+b+c}\geq 1+\frac{9}{(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$ (đpcm)

[phan huong]

Bài :Cho 3 số thưc dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=a^{3}+b^{3}+\frac{1}{4}c^{3}$

[25 minutes]

Bài :Cho 3 số thưc dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=a^{3}+b^{3}+\frac{1}{4}c^{3}$

Áp dụng AM-GM ta có  $x^3+y^3\geqslant \frac{(x+y)^3}{4}$

Khi đó $P\geqslant \frac{(a+b)^3}4{+\frac{c^3}{4}}\geqslant \frac{(a+b+c)^3}{16}=\frac{1}{16}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{2}$

[phan huong]

Bài : Cho 3 số thực dương thỏa mãn $21ab+2bc+8ca\leq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

[25 minutes]

Bài : Cho 3 số thực dương thỏa mãn $21ab+2bc+8ca\leq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

Bạn tham khảo 1 cách ở đây 

Bài này còn 1 cách dùng đạo hàm nhưng khó dài.

[25 minutes]

Cho x,y,z là ba số thực thỏa $xyz\geq 1; z\leq 1$.Tìm GTNN: $P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^{3}}{3(1+xy)}$

Tham khảo tại đây

[the man]

Bài 1. Cho x, y, z >0 thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:

$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{3}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}.(xy+yz+zx)$

 

Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

$\frac{x^3}{(y+2)(y^2-2y+4)}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\geq \frac{x}{3}$

$\frac{y^3}{(z+2)(z^2-2z+4)}+\frac{z+2}{27}+\frac{z^2-2z+4}{27}\geq \frac{y}{3}$

$\frac{z^3}{(x+2)(x^2-2x+4)}+\frac{x+2}{27}+\frac{x^2-2x+4}{27}\geq \frac{z}{3}$

Cộng từng vế các BĐT trên ta có 

$\sum \frac{x^3}{y^3+8}+ \frac{x+y+z+6}{27}+\frac{x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+12}{27}\geq \frac{x+y+z}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{y^3+8}\geq \frac{4}{9}-\frac{x^2+y^2+z^2}{27}$

  $=\frac{4}{9}-\frac{(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}(xy+yz+xz)$