Cho x, y, x là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất:
$P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$
Lời giải
Ta viết giả thiết dưới dạng tương đương $\sqrt{\frac{xy}{z}}.\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}.\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}.\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$
Nên tồn tại tam giác ABC thoả mãn $tan\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{xy}{z}};tan\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{zx}{y}};tan\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{zy}{x}}$
Lúc đó P=$\frac{1}{tan^{2}\frac{C}{2}+1}+\frac{1}{tan^{2}\frac{B}{2}+1}+\frac{tan\frac{A}{2}}{tan^{2}\frac{A}{2}+1}$
=$cos^{2}\frac{C}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}$
=1+$\frac{1}{2}(cosC+cosB)+sin\frac{A}{2}\sqrt{1-sin^{2}\frac{A}{2}}$
=1+$sin\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}+sin\frac{A}{2}\sqrt{1-sin^{2}\frac{A}{2}}$
$\leq 1+sin\frac{A}{2}+sin\frac{A}{2}\sqrt{1-sin^{2}\frac{A}{2}}$
Xét f(t=sin$\frac{A}{2}$)=$t+t\sqrt{1-t^{2}}$ với o<t<1 ta có f(t)$\leq f(\frac{\sqrt{3}}2{})$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
Vậy Pmin=$\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$ khi $\begin{cases} & \text{ } \frac{xy}{z}=\frac{3}{4} \\ & \text{ } \frac{yz}{x}=\frac{zx}{y}=7-4\sqrt{3} \\ & \text{ } x+y+z=1 \end{cases}$