Chủ đề này có 1 trả lời

[tmtd]

Cho tứ diện ABCD. Gọi $A_{1}; B_{1}; C_{1}; D_{1}$ tương ứng là trọng tâm tam giác $BCD; ACD; ABD; ABC$. CM: $AA_{1}; BB_{1}; CC_{1}; DD_{1}$ đồng quy tại G và $\frac{AG}{AA_{1}}=\frac{BG}{BB_{1}}=\frac{CG}{CC_{1}}=\frac{DG}{DD_{1}}=\frac{3}{4}$

[trauvang97]

Cho tứ diện ABCD. Gọi $A_{1}; B_{1}; C_{1}; D_{1}$ tương ứng là trọng tâm tam giác $BCD; ACD; ABD; ABC$. CM: $AA_{1}; BB_{1}; CC_{1}; DD_{1}$ đồng quy tại G và $\frac{AG}{AA_{1}}=\frac{BG}{BB_{1}}=\frac{CG}{CC_{1}}=\frac{DG}{DD_{1}}=\frac{3}{4}$

 

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$

 

Theo tính chất của trọng tâm tam giác ta có: $\frac{MA_{1}}{MB}=\frac{MB_{1}}{MA}=\frac{1}{3}$               $(1)$

 

Do đó theo định lí Thales đảo, thì $A_{1}B_{1} // AB$

 

Trong $mp(AMB)$ thì rõ ràng $BB_{1}\cap AA_{1}=G$

 

Vì $A_{1}B_{1} // AB$ và $(1)$, lại theo định lí Thales suy ra: $\frac{A_{1}G}{GA}=\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AG}{AA_{1}}=\frac{3}{4}$

 

Tương tự ta có: $CC_{1}\cap AA_{1}=G'$ và $\frac{AG'}{AA_{1}}=\frac{3}{4}$

 

                          $DD_{1}\cap AA_{1}=G''$ và $\frac{AG''}{AA_{1}}=\frac{3}{4}$

 

Từ các điều trên suy ra $G, G', G''$ trùng nhau, tức là $AA_{1},BB_{1},CC_{1},DD_{1}$ đồng quy tại $G$ và $\frac{AG}{AA_{1}}=\frac{BG}{BB_{1}}=\frac{CG}{CC_{1}}=\frac{DG}{DD_{1}}=\frac{3}{4}$