Chủ đề này có 1 trả lời

[Gioi han]

Cho $x,y,z$ không âm, thỏa mãn: $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$.

Tìm GTNN của $P=\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}$

[nguyencuong123]

Từ giả thiết ta có: $1=2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\leq x+y+\frac{x+z}{2}=\frac{3x+2y+z}{2}\Rightarrow 3x+2y+z\geq 2$ (Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm)

Ta có: $P=(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})+2(\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z})+3(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z})$

Áp dụng AM-GM từng cặp số trong ngoặc ta có: $P=(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})+2(\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z})+3(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z})\geq 2z+4y+6x=2(3x+2y+z)\geq 2.2=4$

Dấu bằng khi x=y=z=$\frac{1}{3}$