Chủ đề này có 4 trả lời

[younglady9x]

\begin{cases}{2\sqrt{6x+y+10}-3\sqrt{2x+3}=\sqrt{y+1}}\\3x-5+4\sqrt{3-2x}=\frac{3y+6}{\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+y}+2}\end{cases}

[trauvang97]

\begin{cases}{2\sqrt{6x+y+10}-3\sqrt{2x+3}=\sqrt{y+1}}\\3x-5+4\sqrt{3-2x}=\frac{3y+6}{\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+y}+2}\end{cases}

 

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 6x+y+10\geq 0\\ 2x+3\geq 0\\ y+1\geq 0\\ 3-2x\geq 0\\ 3+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình thứ nhất của hệ:  $2\sqrt{6x+y+10}=3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: 

 

$\left ( \sqrt{3}.\sqrt{3(2x+3)}+\sqrt{y+1} \right )^{2}\leq 4(6x+y+10)$

 

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1} \leq 2\sqrt{6x+y+10}$

 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra hay $\sqrt{\frac{3(2x+3)}{3}}=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

 

Đến đây thế vào phương trình thứ hai để tìm nghiệm

[younglady9x]

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 6x+y+10\geq 0\\ 2x+3\geq 0\\ y+1\geq 0\\ 3-2x\geq 0\\ 3+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình thứ nhất của hệ:  $2\sqrt{6x+y+10}=3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: 

 

$\left ( \sqrt{3}.\sqrt{3(2x+3)}+\sqrt{y+1} \right )^{2}\leq 4(6x+y+10)$

 

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1} \leq 2\sqrt{6x+y+10}$

 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra hay $\sqrt{\frac{3(2x+3)}{3}}=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

 

Đến đây thế vào phương trình thứ hai để tìm nghiệm

Mình có thể đặt ẩn phụ để tìm ra $2x+3 = y+1$ nhưng mà lúc thay vào phương trình (2) để giải là cả một vấn đề đấy

[Longhb]

Thay y theo x vào PT (2), nhẩm đc nghiệm $x=-\frac{1}{2}$. Vẽ đồ thị thấy $x=-\frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất(?). Tuy nhiên việc chứng minh rất khó! Nghĩ máy ngày không ra.

 

[Longhb]

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 6x+y+10\geq 0\\ 2x+3\geq 0\\ y+1\geq 0\\ 3-2x\geq 0\\ 3+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình thứ nhất của hệ: 

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: 

 

$\left ( \sqrt{3}.\sqrt{3(2x+3)}+\sqrt{y+1} \right )^{2}\leq 4(6x+y+10)$

 

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1} \leq 2\sqrt{6x+y+10}$

 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra hay $\sqrt{\frac{3(2x+3)}{3}}=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

 

Đến đây thế vào phương trình thứ hai để tìm nghiệm

Cách khác biến đổi PT (1) không sử dụng Buniakovsky:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} -\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{3}{2} & \\ y\geq -1& \end{matrix}\right.$

Khi đó:$6x+y+10\geq 6.(-\frac{3}{2})-1+10=0$

$(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{6x+y+10}=3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 4(6x+y+10)=9(2x+3)+(y+1)+6\sqrt{(2x+3)(y+1)}$

$\Leftrightarrow (2x+3)+(y+1)-2\sqrt{(2x+3)(y+1)}=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{y+1})^2=0$

$\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longhb: 04-08-2013 - 20:59