Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Cho tam giác ABC. Một đường tròn (K) đi qua B, C cắt CA, AB tại E, F. BE giao CF tại H. D là hình chiếu của K lên AH. Gọi phân giác các góc BDF, CDE cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF, BCE tại M, N.

a) Chứng minh rằng MN đi qua H.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN đi qua K.

[malx]

 

Gọi giao điểm của $EF$ và $BC$ là $G$, với đường tròn tâm $K$ thì $AH$ là polar của $G$ nên $AH\perp KG$, nhưng $KD\perp AH$ nên $D$ nằm trên $KG$. Gọi $L$ là giao điểm của $AH$ và $EF, (G, L; F, E) = -1$, lại có $LD\perp GD$ nên $LD$ là phân giác của góc $\angle FDE$.

 

 

Giả sử hai đường tròn $(BFD)$ và $(BEC)$ cắt nhau tại $H’$ thì dễ thấy $DH’$ là phân giác góc $\angle FDE$, vì vậy $H'\equiv H$, điều này có nghĩa là $(BDF)$ và $(DEC)$ đều đi qua $H$

Vì $M$ là trung điểm cung nhỏ $BF$, $N$ là trung điểm cung nhỏ $EC$ nên $HM$ là phân giác $\angle FDB$, $HN$ là phân giác $\angle EHC$, nên $M, H, N$ thẳng hàng.

Lưu ý $KM\perp AB, KN\perp AC$ nên $\angle MKN = 180^{\circ} - \angle A$.

$\angle MDN = \angle FHB + \angle FBH + \angle HCE = \angle AFC +\angle FCA = 180^{\circ} - \angle A$. Tứ giác $MDKN$ là tứ giác nội tiếp.

 

Chi tiết hơn xem:

http://diendantoanho...-trung-diểm-oh/

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi malx: 18-08-2013 - 23:10

[tranquocluat_ht]

Cho tam giác ABC. Một đường tròn (K) đi qua B, C cắt CA, AB tại E, F. BE giao CF tại H. D là hình chiếu của K lên AH. Gọi phân giác các góc BDF, CDE cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF, BCE tại M, N.

a) Chứng minh rằng MN đi qua H.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN đi qua K.

Ý a) đã có ở đây http://diendantoanho...lem-4-imo-2013/