Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$. Tìm các giá trị cùa tham số m để $(C_{m})$ có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1.
Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$.
#1
Posted 07-08-2013 - 14:58
#2
Posted 07-08-2013 - 17:38
Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$. Tìm các giá trị cùa tham số m để $(C_{m})$ có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1.
Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ hay \ x^2 = m$
Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.
G/s 3 điểm cực trị là $A(0;1); \ B(\sqrt{m}; m^2 + 2m + 1); \ C(-\sqrt{m}; m^2 + 2m + 1)$
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A. Gọi $ H(0;m^2 + 2m + 1)$ là trung điểm BC
Ta có $R = \dfrac{AB.AC.BC}{4.\dfrac{1}{2}.AH.BC} = \frac{AB^2}{2AH} $
$\Leftrightarrow (m+1)(m^3 + 3m^2 + 5m + 2) = 0$
Thấy 2 nghiệm đều có giá trị âm ko biết sai chỗ nào
Edited by pigloo, 07-08-2013 - 17:39.
- nucnt772 likes this
- bọt biển -
#3
Posted 07-08-2013 - 18:59
Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ hay \ x^2 = m$
Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.
Chỗ này bạn nhầm chút xíu nè.
ta có: $y'=4x(x+m^{2})$
$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ hay $x=-m^{2}$
Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $m< 0$
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: $A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$
Edited by nucnt772, 07-08-2013 - 18:59.
- pigloo likes this
#4
Posted 09-08-2013 - 12:08
ta có: $y'=4x^{3}+4mx$$=4x(x^{2}+m)$
$y'=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^{2}=-m$
Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m< 0$
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$
Dễ thấy $\Delta ABC$ cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC $\Rightarrow AD\perp BC$
Xét $\Delta ADC$ vuông ta có: $sinC=\frac{AD}{AC}$
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và ta có $R=1$ , áp dụng định lý sin trong $\Delta ABC$, ta có:
$\frac{AB}{sinC}=2R$ $\Leftrightarrow \frac{AB.AC}{AD}=2$ $\Leftrightarrow \frac{AC^{2}}{AD}=2$
$\Leftrightarrow -m+m^{4}=2m^{2}$ $\Leftrightarrow m^{3}-2m-1=0$ $\Leftrightarrow (m+1)(m^{2}-m-1)=0$
$\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Xét điều kiện $m< 0$ chỉ nhận $m=-1$, $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Edited by nucnt772, 09-08-2013 - 12:10.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users