a + b + c + 2 = abc.
Cm a + b + c + 6 $\geq 2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )$
a + b + c + 2 = abc.
Cm a + b + c + 6 $\geq 2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )$
đây là bài làm của tớ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngt1997: 07-08-2013 - 19:02
.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngt1997: 07-08-2013 - 19:06
$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$
$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$
Ngược dấu rồi bạn ạ .Srr.Mình nhầm.đúng rồi đó nhưng điều kiện phải là a,b,c >0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 07-08-2013 - 20:03
KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU
KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU
UKM.Mình Srr rồi mà.
KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU
bạn có thể ghi lại bài giải một lần nữa được không
sao mình toàn thấy mấy dòng code loằng ngoằng
Mình làm nốt : $a+b+c+2=abc\Rightarrow\sum \frac{a}{a+1}=1$.đặt $\frac{a}{a+1}=x,\frac{b}{b+1}=y,\frac{c}{c+1}=z$ nên $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$ với x+y+z=1.Nên bđt tương đương $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+6\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{x+z}{y}})\Leftrightarrow \sum \frac{x+y+z}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(z+x)}{xy}})\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(x+z)}{xy}})\Leftrightarrow \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})$.Áp dụng AM-GM cho vế phải $2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})\leq \frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{x}=2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$ tương tự kết hợp vs $\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}=9$ ta có điều phải chứng minh
Mình làm nốt : $a+b+c+2=abc\Rightarrow\sum \frac{a}{a+1}=1$.đặt $\frac{a}{a+1}=x,\frac{b}{b+1}=y,\frac{c}{c+1}=z$ nên $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$ với x+y+z=1.Nên bđt tương đương $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+6\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{x+z}{y}})\Leftrightarrow \sum \frac{x+y+z}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(z+x)}{xy}})\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(x+z)}{xy}})\Leftrightarrow \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})$.Áp dụng AM-GM cho vế phải $2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})\leq \frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{x}=2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$ tương tự kết hợp vs $\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}=9$ ta có điều phải chứng minh
bạn đặt nhầm đoạn đầu bài toán $\sum \frac{1}{a+1}=1$. nhưng vẫn cảm ơn bạn
bạn đặt nhầm đoạn đầu bài toán $\sum \frac{1}{a+1}=1$. nhưng vẫn cảm ơn bạn
Sao nhầm.đúng mà.Quy đồng lên thôi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh