Chủ đề này có 2 trả lời

[chinhanh9]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương sao cho $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{xy+x}+\frac{1}{yz+y}+\frac{1}{zx+z}$

[letankhang]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương sao cho $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{xy+x}+\frac{1}{yz+y}+\frac{1}{zx+z}$

Ta cần chứng minh BĐT sau :
$\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(z+1)}+\frac{1}{z(x+1)}\geq \frac{3}{xyz+1}\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+\frac{xyz+1}{yz+y}+\frac{xyz+1}{zx+z}\geq 3\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+1+\frac{xyz+1}{yz+y}+1+\frac{xyz+1}{zx+z}+1\geq 6\Leftrightarrow \frac{xyz+1+xy+x}{x(y+1)}+\frac{xyz+1+yz+y}{y(z+1)}+\frac{xyz+1+xz+z}{z(x+1)}\geq 6\Leftrightarrow \frac{xy(z+1)+(x+1)}{x(y+1)}+\frac{yz(x+1)+(y+1)}{y(z+1)}+\frac{zx(y+1)+(z+1)}{z(x+1)}= \frac{y(z+1)}{y+1}+\frac{x+1}{x(y+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}+\frac{x(y+1)}{x+1}+\frac{z+1}{z(x+1)}\geq 6$

( Áp dụng BĐT Cauchy cho 6 số nên BĐT cuối luôn đúng )$\Rightarrow \frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(z+1)}+\frac{1}{z(x+1)}\geq \frac{3}{xyz+1}= \frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 08-08-2013 - 08:49

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương sao cho $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{xy+x}+\frac{1}{yz+y}+\frac{1}{zx+z}$

Do $xyz=1$ nên tồ n tại các số $a,b,c$ sao cho $(x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$

Khi đó $\frac{1}{xy+x}=\frac{1}{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}+\frac{a}{b}}=\frac{1}{\frac{a}{c}+\frac{a}{b}}=\frac{bc}{ab+ac}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{xy+x}=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{ab+bc}+\frac{ab}{ac+bc}\geqslant \frac{3}{2}$

BĐT trên đúng do bất đẳng thức Nesbit $3$ số

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$, hay $x=y=z=1$