Chủ đề này có 2 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

             $\frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3b^2}}\geqslant \frac{3}{2}$

[hung183461]

Áp dụng Bđt $Holder$ ta có :

 

$( \sum \frac{a}{\sqrt{b^2 + 3c^2}})^2[\sum a(b^2+3c^2)] \geq (a+b+c)^3$

 

Khi đó ta cần chứng minh :

 

$\frac{(a+b+c)^3}{\sum a(b^2 + 3c^2)} \geq \frac{9}{4} \Leftrightarrow a^3 +b^3 + c^3 \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)$

 

Tuy nhiên đây là một hệ quả quen thuộc   

 

Áp dụng Bđt $AM-GM$ ta có : 

 

$\sum a^3 + \sum a^3 + \sum b^3 \geq 3\sum a^2b$

 

$\sum b^3 + \sum b^3 + \sum c^3 \geq 3\sum b^2c$

 

$\sum c^3 + \sum c^3 + \sum a^3 \geq 3\sum c^2a$

 

Suy ra đpcm . Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$   

[25 minutes]

$\frac{(a+b+c)^3}{\sum a(b^2 + 3c^2)} \geq \frac{9}{4} \Leftrightarrow a^3 +b^3 + c^3 \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)$

Chỗ này tương đương sai rồi nhé, phải biến đổi $1$ chút và sử dụng $a^2b+b^2c+c^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}$ mới giải quyết xong bài toán