Giải
a) TXĐ: D = R\{m}
$y' = \dfrac{(2x + 2m)(x - m) - (x^2 + 2mx - m)}{(x - m)^2} = \dfrac{x^2 - 2mx - 2m^2 + m}{(x - m)^2}$
Ta có: $(C_m)$ cắt Ox tại điểm có hoành độ $x_o$ khi:
$\dfrac{x_o^2 + 2mx_o - m}{x_o - m} = 0 \Leftrightarrow x_o^2 + 2mx_o - m = 0 \Leftrightarrow m = x_o^2 + 2mx_o$
Tiếp tuyến của $(C_m)$ tại $x_o$ có hệ số góc:
$k = \dfrac{x_o^2 - 2mx_o - 2m^2 + m}{(x_o - m)^2} = \dfrac{x_o^2 - 2mx_o - 2m^2 + (x_o^2 + 2mx_o)}{(x_o - m)^2}$
$k = \dfrac{2(x_o^2 - m^2)}{(x_o - m)^2} = \dfrac{2(x_o + m)}{x_o - m}$
b) (Cm) cắt Ox tại hai điểm A, B khi phương trình: $\dfrac{x^2 + 2mx - m}{x - m} = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Tức là phương trình: $x^2 + 2mx - m = 0 \, (\star)$ có hai nghiệm phân biệt khác m.
Khi đó: $\left\{\begin{matrix}\Delta' = m^2 + m > 0\\m^2 + 2m.m - m \neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow m < - 1 $ hoặc $m > 0$ và $m \neq \dfrac{1}{3}$
Theo định lý Viets, hai nghiệm $x_1, x_2$ của $(\star)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -2m\\x_1.x_2 = -m\neq 0\end{matrix}\right.$
Ta có: Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau khi $k_A.k_B = -1$
Mặt khác, theo câu a, hệ số góc của tiếp tuyến qua một điểm thuộc $C_m$ trên trục hoành: $k = \dfrac{2(x_o + m)}{x_o - m}$
Do đó:
$\dfrac{2(x_1 + m)}{x_1 - m}.\dfrac{2(x_2 + m)}{x_2 - m} = -1$
$\Leftrightarrow 4\left [x_1x_2 + m(x_1 + x_2) + m^2 \right ] = - \left [ x_1x_2 - m(x_1 + x_2) + m^2\right ]$
$\Leftrightarrow 5x_1x_2 + 3m(x_1 + x_2) + 5m^2 = 0 $
$\Rightarrow 5.(-m) + 3m(-2m) + 5m^2 = 0$
$\Leftrightarrow -m^2 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = -5$
Đối chiếu điều kiện, ta chọn m = -5.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 09-08-2013 - 13:11
