Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdotk14]

Giải hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y\leq 1 & & \\ x^2+xy+y^2=1& & \end{matrix}\right.$

[25 minutes]

Giải hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x+y\leq 1 & & \\ x^2+xy+y^2=1& & \end{matrix}\right.$

Xét $x^2+xy+y^2=1$ là phương trình bậc $2$ ẩn $y$

$\Rightarrow \Delta _y=4-3x^2\geqslant 0\Leftrightarrow \left | x \right |\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{-2}{\sqrt{3}}\leqslant x\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}}$

Với điều kiện đó, phương trình $2$ có nghiệm là $y=\frac{-x\pm \sqrt{4-3x^2}}{2}$

Xét $y=\frac{-x-\sqrt{4-3x^2}}{2}$

Kết hợp với phương trình $1$ ta được $x+\frac{-x-\sqrt{4-3x^2}}{2}\leqslant 1\Leftrightarrow x-\sqrt{4-3x^2}\leqslant 2\Leftrightarrow x-2\leqslant \sqrt{4-3x^2}$

Khi đó ta có $\left\{\begin{matrix} x-2\leqslant \sqrt{4-3x^2}\\ \frac{-2}{\sqrt{3}}\leqslant x\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.$

Dễ thấy hệ trên có nghiệm với mọi $x$ sao cho $\frac{-2}{\sqrt{3}}\leqslant x\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}}$

Trường hợp $y=\frac{-x+\sqrt{4-3x^2}}{2}$ tương tự

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và không xác định được CTTQ của nghiệm