Chủ đề này có 4 trả lời

[Near Ryuzaki]

Mình xin đóng góp cho diễn đàn 1 số phương pháp chứng minh các điểm thẳng hàng trong hình học THCS, có gì các bạn đóng góp thêm giúp mình nhá.Các bạn chiu khó vẽ hình ở ngoài, mình không biết cách up hình lên nên chỉ ghi lời giải thôi. Có các phương pháp sau:

1.Sử dụng tiên đề Ơ-clít và hệ quả;

_Tiên Đề Ơ-clít: Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ 1 đường thẳng duy nhất song song với a.

_Hệ Quả:Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ 1 đường thẳng duy nhất vuông góc với a.

 

Ví dụ:

1/ Cho tam giác ABC với 2 trung tuyến BD và CE. Gọi M,N theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia EC và DB sao cho EC=EM và DB=DN.Chứng minh rằng : A,M,N thẳng hàng

Tứ giác AMBC có EA=EB, EM=EC(gt) nên là hình bình hành nên AM song song với BC

T/ tự: ta được AN song song với BC

từ đó suy ra A,M,N thẳng hàng

 

2/Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của D trên BE ; I là giao điểm của AB với CF ; K là giao điểm của AF với BC. Chứng minh rằng ba điểm O, K, I thẳng hàng.

Giải:

ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD.

Ta có CB ^ AI (vì ABCD là hình chữ nhật)  Þ CB là đường cao của DCAI.                        (1)

DFBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF =$\frac{1}{2}$BD Þ OF = $\frac{1}{2}$AC.

DFAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = $\frac{1}{2}$

AC nên DFAC vuông tại F. Suy ra AF ^ CI hay AF là đường cao của DCAI.  (2)

K là giao điểm của AF với CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của DCAI.      Do đó IK ^ AC.   (3) 

Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành Þ BE // AC Þ BF //AC Þ ABFC là hình thang.

Lại có DFDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên

CF = CD Þ CF = AB (vì AB = CD). Suy ra tam giácBAC = tam giác FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Þ AF = BC.

        Hình thang ABFC có hai ­đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra góc IAC= góc ICA  Þ DIAC cân tại I Þ IO là trung tuyến đồng thời là đường cao.       Hay IO vuông góc AC.         (4)

        Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm).

2.Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng:

_Tính chất: Nếu AM+BM=AB thì M nằm giữa A và B

 

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và CD. Chứng minh rằng nếu MN= (AD+BC) /2  thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang

Giả sử: MN=(AD+BC) /2 (1)

Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MI // BC và MI = BC/2

Chứng minh t­ương tự ta có IN // AD và IN = AD/2

Mà MN= (AD+BC) /2 hay MN = MI + IN. Từ đó suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I, N thẳng hàng.

Lúc đó ta có BC // AD và cũng song song với MN. Do đó ABCD trở thành hình thang.

3.Sử dụng tính chất của 2 góc kề bù và 2 góc đối đỉnh

_Nếu chứng mình được góc AOC + góc COB=180 thì suy ra A,O,B thẳng hàng

_Nếu C và D nằm trên 2 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB mà góc AOC= góc BOD với O là điểm thuộc AB thì C,O,D thẳng hàng.

 

Ví dụ 4. Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B. Gọi C, D lần l­ượt đối xứng với B qua O và O’. Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng.

Lời giải

Vì C đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BC. Suy ra BC là đường kính của (O).

Ta có OA = OB = OC =BC/2 nên tam giác ABC vuông tại A Þ góc BAC =90.

Chứng minh t­ương tự ta có: góc BAD=90.

Do đó :  góc CAD= góc BAC + góc BAD Þ C, A, D thẳng hàng.

4.Sử dụng sự đồng quy của các đường trung tuyến, các đường cao, đường phân giác trong tam giác

Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ; E là điểm đối xứng của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE ; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.

Lời giải

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC

suy ra EO là trung tuyến của DEAC.

E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của EA suy ra CB là trung tuyến của DEAC.

G là giao điểm của CB và EO nên G là trọng tâm của DEAC.(1)

 Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung điểm cña AE nên suy ra CD // BE, CD = BE. Do đó tứ giác BECD là hình bình hành. Từ đó F là trung điểm của hai đường chéo ED và BC của hình bình hành BECD.

     Ta có OF là đường trung bình của DCAB nên OF // AB Þ OH // AE Þ HE = HC.  Do đó AH là trung tuyến của DEAC.(2)

     Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (đpcm).

5.Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành

 Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH vuông góc AB, FK vuông góc CD ($H \in AB, K \in CD)$. Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng.

                                                                     Lời giải

     Vì EH vuông góc AB, FK vuông góc CD và AB // CD nên EH // FK (1)

     Xét tam giác vuông HBE và tam giác vuông KDF (DKF=BHE=90) có BE = DF, góc KDF= góc HBE,

     Þ  tam giác HBE = tam giác KDF (cạnh huyền – góc nhọn)

     Þ HE = KF (2)

     Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành

     Þ trung điểm của EF cũng là trung điểm của HK.

     Vậy E, H, K thẳng hàng (đpcm).

6 Sử dụng phương pháp diện tích

Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N . Gọi I,J,K là trung điểm BD,AC và MN. Chứng minh I,J,K thẳng hàng

Lời giải

     Gọi K’ là giao điểm của IJ và MN. Gọi E, F lần l­ượt là chân đường vuông góc kẻ từ N, M tới đường thẳng IJ. Dễ thấy M, N nằm về hai phía của IJ

     Ta có:

$$S_{NIJ}=S_{NDC}-S_{NJC}-S_{NDI}-S_{CIJ}-S_{CID}=S_{NDC}-\frac{1}{2}S_{NBD}-\frac{1}{2}S_{NAC}-\frac{1}{2}S_{AIC}-\frac{1}{2}S_{CBD}=S_{NDC}-S_{NAB}-\frac{1}{2}S_{ABD}-\frac{1}{2}S_{ABC}-\frac{1}{2}(S_{ADC}-S_{ADIC})-\frac{1}{2}S_{CBD}=S_{ABCD}-\frac{1}{2}(S_{ABD}-S_{BCD})-\frac{1}{2}(S_{ABC}+S_{ADC})+\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}$$

Tương tự:  $$S_{MIJ} =\frac{1}{4}S_{ABCD}$$

Do đó:$$S_{NIJ}= S_{MIJ}$$

$\frac{1}{2}S_{NFIJ}=\frac{1}{2}S_{MEIJ}$ Nên $ME=NF$ Và $S_{NKJ}=S_{MKJ}$

Hai tam giác NKJ và tam giác MKJ có chung chiều cao hạ từ J nên từ trên suy ra NK’ = MK’. Mà MK = NK (gt) nên K º K’. Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

7.Sử dụng định lý Talet, định lý Ta lét đảo và hệ quả của định lý Ta lét

 

   Ví dụ 10. (Bổ đề hình thang) : Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải

     Giả sử hình thang đã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có I, J t­ương ứng là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh và của hai đường chéo :

     Gọi M và N lần l­ượt là giao điểm của IJ với AB và CD.

Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của định lý Talet ta có :  

$\frac{AM}{DN}=\frac{BM}{CN}$ Và $\frac{AM}{CN}=\frac{BM}{DN}$ Hay$\frac{AM}{DN}=\frac{BM}{CN}$

8.Sử dụng phương pháp phản chứng

Ví dụ 11. Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) và bất kì đường thẳng nào đi qua hai trong những điểm đó đều chứa một điểm đã cho. Chứng minh rằng tất cả các điểm đã cho cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải

     Giả sử tất cả các điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. Qua mỗi cặp điểm đã cho vẽ một đường thẳng (có một số hữu hạn đường này) và chọn khoảng cách khác 0 từ các điểm đã cho đến các đường thẳng này.

     Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC, trong đó A, B, C là các điểm đã cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên đường thẳng BC còn có một điểm D nào đó.

     Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q. Hai trong các điểm B, C, D nằm cùng một phía đối với điểm Q, chẳng hạn C và D ­  khi đó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuông góc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A và đường thẳng BC. Từ đó ta có điề phải chứng minh.

9.Sử dụng các tính chất sau

 _Ba điểm cùng thuộc 1 đường thẳng thì thẳng hàng

 _Ba điểm cùng cách đều hai đầu mút của một đọan thẳng (cùng thuộc đường trung trực của một đọan thẳng) thì thẳng hàng.

 _Ba điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách đều a thì thẳng hàng.

 _Ba điểm cùng cách đều hai đường thẳng song song thì thẳng hàng

 _Ba điểm cùng cách đều hai cạnh của một góc (cùng thuộc đường phân giác của giác) thì thẳng hàng

                                                             _______________________________________

Bài tập áp dụng:

1.  Cho ∆ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng hình vuông ACMN. Dựng hình bình hành AEIN. Gọi K là giao điểm của CD và BM. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, K, H thẳng hàng.

2.  Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần l­ượt các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng.

3.  Cho góc vuông xAy. Một điểm B cố định trên Ax, còn một điểm C chuyển động trên Ay. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần l­ượt ở M và N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C chuyển động trên Ay.

4.  Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho góc EBC= góc ECB=15. Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng.

5.  Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD và AB lần l­ượt tại E và F. Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

P/s: Mình cần lock topic để sửa lại latex và chữ!!!

 

.

 

        

        

        

 

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 07-03-2014 - 00:43

[letankhang]

 

2.  Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần l­ượt các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng

Bài 2 :

Bạn tự vẽ hình dùm mình nha

Gọi $H;K$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ $(1)$

Ta có :

$AM=CP;AH=CK\Rightarrow \left | AM-AH \right |=\left | CP-CK \right |\Rightarrow HM=PK$

Mà $AB//CD\Rightarrow HM//PK$

$\Rightarrow HMKP$ là hình bình hành 

$\Rightarrow HK$ và $MN$ đi qua trung điểm mỗi đường $(2)$

Dễ thấy $HK$ đi qua $O$ và $O$ là trung điểm của $HK$ $(3)$ ( do $(1)$ )

Từ $(2)$ và $(3)$

Suy ra $M;O;P$ thẳng hàng $(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 11-08-2013 - 18:14

[letankhang]

Mọi người ủng hộ topic nào....!!!!!!!!!    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 12-08-2013 - 08:42

[bangbang1412]

 ủng hộ đây ; còn một cách nữa là xử dụng định lý Ceva : Phát biểu như sau ; nếu 3 điểm M ; N ; P lần lượt thuộc cách cạnh của tam giác AB ; AC ; BC của tam giác ABC và $\frac{AM}{MB}.\frac{BP}{PC}.\frac{CN}{NA}=1$ thì AP ; BN và CM đồng quy tại một điểm ; điều ngược lại cũng đúng .

[phambapcai]

Bài 2

 

hình vuông ABCD có:

*O là giao điểm của AC,BD

=> O la trung điểm của AC,BD

*AC là đường chéo

=> góc OAM=góc OCP (=45`)

Xét tam giác AOM,tam giác COP có

*AM=PC(gt)

*OAM=OCP(cmt)

*AO=OC(O là trung điểm AC)

nên tam giác AOM=tam giác COP(c.g.c)

=>AOM=COP

=>M,O,P thẳng hàng( sử dụng góc đối đỉnh để CM thẳng hàng)