1 reply to this topic

[nucnt772]

Giải phương trình sau:

$\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+4356}+x}{x}}-\sqrt{x\sqrt{x^{2}+4356}-x^{2}}=5$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $\dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x} \geq 0$ và $x\sqrt{x^2 + 4356} -x^2 \geq 0$

Đặt $a = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x}} \geq 0$

Do $\sqrt{x^2 + 4356} + x \neq 0$ nên khi đó: 

$\sqrt{x\sqrt{x^2 + 4356} -x^2} = \sqrt{x\left ( \sqrt{x^2 + 4356} - x\right )} = \sqrt{x.\dfrac{4356}{\sqrt{x^2 + 4356} + x}} = \dfrac{66}{a}$

 

Vì vậy, ta có phương trình: $a - \dfrac{66}{a} = 5 \Leftrightarrow a^2 - 5a - 66 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = 11\\a = - 6\end{matrix}\right.$

 

Do $a > 0 \Rightarrow a = 11 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x}} = 11$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 4356} = 120x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq 0\\14399x^2 = 4356\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{\sqrt{119}}$

 

Thử lại thấy thỏa mãn. Đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình.