Chủ đề này có 2 trả lời

[nhatquangsin]

Cho bốn điểm khác nhau $A,B,C,D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy

[thanhdotk14]

Cho bốn điểm khác nhau $A,B,C,D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy

Bài giải:

Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm đường tròn đường kính $AC, BD$

Ta có: $PM.PC=PX.PY=PN.PB$

$\Rightarrow MBCN$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MNB}=\widehat{MCB}$

$\Rightarrow \widehat{MAD}+\widehat{MND}=\widehat{MAD}+\widehat{MNB}+\frac{\pi}{2}=\widehat{MAD}+\widehat{MCA}+\frac{\pi}{2}=\pi$

$\Rightarrow AMND$ nội tiếp

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AMND$

Khi ấy, ta có:

$\left\{\begin{matrix} \left ( O \right )\cap \left ( O' \right )=\left \{ X;Y \right \}  & & \\ \left ( O \right)\cap \left ( I \right )=\left \{ A;M \right \} & & \\ \left ( O' \right )\cap \left ( I \right )=\left \{ N;D \right \} & & \\ \end{matrix}\right.$

Từ đó, theo định lí về trục đẳng phương ta có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 12-08-2013 - 16:47

[VodichIMO]

Cho bốn điểm khác nhau $A,B,C,D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy

Gọi $K'$ là giao của $AM$ với $XY$. $K$ là giao của $DN$ với $XY$

Tứ giác $K'MZC$ nội tiếp  $\Rightarrow$ $PM.PC=PK'.PZ$

Tứ giác $KNZB$ nội tiếp $\Rightarrow$ $PN.PB=PK.PZ$.

 

Mà $PM.PC=PN.PB$  $\Rightarrow$ $PK'.PZ=PK.PZ$

Suy ra $K$ trùng $K'$. Suy ra đpcm