Chủ đề này có 2 trả lời

[nhjm nhung]

Cho $a, b ,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{5}{2}$

 

 

[nhatduy01]

Bất đẳng thức cần chứng minh  tương đương

              $\sum \left ( 1-\frac{a}{b+c} \right )\geq \frac{1}{2}+\frac{\sum ab}{\sum a^{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{b+c-a}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a^{2}}$

 Áp dụng Cauchy-schwarz,ta có

                 $2(\sum a^{2})(\sum \frac{b+c-a}{b+c})=(\sum (b+c)(b+c-a))(\sum \frac{b+c-a}{b+c})$

                   $\geq (\sum (b+c-a))^{2}=(\sum a)^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=b,c=0 hoặc các hoán vị tương ứng.

[badatmath]

Bất đẳng thức cần chứng minh  tương đương

              $\sum \left ( 1-\frac{a}{b+c} \right )\geq \frac{1}{2}+\frac{\sum ab}{\sum a^{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{b+c-a}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a^{2}}$

 Áp dụng Cauchy-schwarz,ta có

                 $2(\sum a^{2})(\sum \frac{b+c-a}{b+c})=(\sum (b+c)(b+c-a))(\sum \frac{b+c-a}{b+c})$

                   $\geq (\sum (b+c-a))^{2}=(\sum a)^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=b,c=0 hoặc các hoán vị tương ứng.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c thôi không có trường hợp c=0 đâu (3 canh tam giác mà )