Chủ đề này có 4 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và $a^3+b^3+c^3+3abc=1$

Tìm GTNN của $P=a^2+b^2+c^2$

[luuvanthai]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có :1=$\left [ a(a^{2}+bc)+b(b^{2}+ac)+c(c^{2}+ab) \right ]^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{4}+b^{4}+c^{4}+\sum a^{2}b^{2}+2abc(a+b+c))$

Đặt Q=$\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}+2abc(a+b+c)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2abc(a+b+c)-\sum a^{2}b^{2}\leq (\sum a^{2})^{2}+abc(a+b+c)\leq \frac{4}{3}(\sum a^{2})^{2}$

Do đó P$\geq \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 14-08-2013 - 16:02

[germany3979]

Bạn giải thích giúp mình 2 chỗ nhé:

+ $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2abc(a+b+c)-\sum a^{2}b^{2}\leqslant (\sum a^{2})^{2}+abc(a+b+c)$

+ $(\sum a^{2})^{2}+abc(a+b+c)\leqslant \frac{4}{3}(\sum a^{2})^{2}$

[luuvanthai]

Mình dùng cái này $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(\sum a^{2}b^{2}) và  \sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)$

[germany3979]

Bạn giải thích rõ hơn một tí nữa được ko, áp dụng điều gì mà ta có được điều đó?