1 reply to this topic

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=\frac{x^{2}cos\alpha +2xsin\alpha +1}{x+2}$$(C_{\alpha })$

 

Tìm $\alpha$ để đường tròn tâm O tiếp xúc với tiệm cận xiên của $(C_{\alpha })$ có bán kính lớn nhất.

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Không biết đúng không nữa!

Giải

TXĐ: D = R\{-2}

Hàm số: $y = \dfrac{x^2\cos{\alpha} + 2x\sin{\alpha} + 1}{x + 2} = x\cos{\alpha} + 2\left (\sin{\alpha} - \cos{\alpha} \right ) + \dfrac{1 - 4(\sin{\alpha} - \cos{\alpha})}{x + 2}$

 

Hàm số có tiệm cận xiên: $(d): y = x\cos{\alpha} + 2\left (\sin{\alpha} - \cos{\alpha} \right )$

 

Đường tròn tâm O tiếp xúc với TCX có bán kính lớn nhất khi khoảng cách từ O đến TCX lớn nhất.

 

Ta có: $d_{(O; d)} = \dfrac{2\left |\sin{\alpha} - \cos{\alpha}\right |}{\sqrt{1 + \cos^2{\alpha}}} \, (1)$

 

- Nếu $\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z) \Rightarrow d_{(O; d)} = 2$

 

- Nếu $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$, chia cả tử và mẫu của (1) cho $|\cos{\alpha}|$, ta được:

 

$d_{(O; d)} = \dfrac{2\left | \tan{\alpha} - 1\right |}{\sqrt{2 + \tan^2{\alpha}}}$

 

Khảo sát hàm số $y = \dfrac{2|x - 2|}{\sqrt{x^2 + 2}}$ ta tìm được: $Max_y = \sqrt{6}$ khi $x = -2$

 

Vậy với $\tan{\alpha} = -2$ thì hàm số ban đầu sẽ có tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tòn tâm O có bán kính lớn nhất.