Giải
a) Với $m = -1$, khi đó: $y = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{x - 1} = 1 - x + \dfrac{4}{x - 1}$
Gọi A thuộc nhánh trái, $x_A < 1$. Với số $a > 0$, đặt: $x_A = 1 - a \Rightarrow y_A = a - \dfrac{4}{a}$
Gọi B thuộc nhánh phải, $x_B > 1$. Với số $b > 0$, đặt: $x_B = 1 + b \Rightarrow y_A = - b + \dfrac{4}{b}$
Khi đó:
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(b + a)^2 + (a + b - \dfrac{4}{a} - \dfrac{4}{b})^2 }$
$\Rightarrow AB^2 = (a + b)^2 \left [ 1 + \left (1 - \dfrac{4}{ab} \right )^2\right ] \geq 4ab \left ( 2 - \dfrac{8}{ab} + \dfrac{16}{a^2b^2}\right )$
$\Rightarrow AB^2 \geq 8ab - 32 + \dfrac{64}{ab} \geq 2\sqrt{8.64} - 32 = 32(\sqrt{2} - 1)$
$\Rightarrow AB \geq \sqrt{32\sqrt{2} - 32}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a = b\\8ab = \dfrac{64}{ab}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt[4]{8}$
Khi đó: A$\left (1 -\sqrt[4]{8}; \sqrt[4]{8} - \dfrac{4}{\sqrt[4]{8}} \right )$ và B$\left ( 1 + \sqrt[4]{8}; - \sqrt[4]{8} + \dfrac{4}{\sqrt[4]{8}}\right )$
