16 replies to this topic

[minhviet]

Nhờ các bạn giải thích giùm tại sao khi $n \to \infty$ thì:

$\frac{e^{n}+n^{3}}{2^{n}+ln^{3}n}$~$(\frac{e}{n})^{n}$

Thanks.

 

[phudinhgioihan]

Nhờ các bạn giải thích giùm tại sao khi $n \to \infty$ thì:

$\frac{e^{n}+n^{3}}{2^{n}+ln^{3}n}$~$(\frac{e}{n})^{n}$

Thanks.

 

Đúng ra phải là $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} \sim (\frac{e}{2})^n $

 

Có thể nhận thấy điều này do hàm mũ trội hơn hàm lũy thừa và hàm logarit nên $\lim \frac{n^3}{2^n}=\lim \frac{\ln^3 n}{2^n}=0$

 

Còn nếu muốn sử dụng định nghĩa tương đương thì, ta có

 

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} : (\frac{e}{2})^n =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2e)^n+2^n n^3}{(2e)^n+e^n \ln^3 n}$$

 

$$=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{n^3}{e^n}}{1+\dfrac{\ln^3}{2^n}} =1 $$

 

Từ đây có $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} \underset{n \to +\infty}{\sim} (\frac{e}{2})^n $

[minhviet]

Đúng ra phải là $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} \sim (\frac{e}{2})^n $

 

Có thể nhận thấy điều này do hàm mũ trội hơn hàm lũy thừa và hàm logarit nên $\lim \frac{n^3}{2^n}=\lim \frac{\ln^3 n}{2^n}=0$

 

Còn nếu muốn sử dụng định nghĩa tương đương thì, ta có

 

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} : (\frac{e}{2})^n =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2e)^n+2^n n^3}{(2e)^n+e^n \ln^3 n}$$

 

$$=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{n^3}{e^n}}{1+\dfrac{\ln^3}{2^n}} =1 $$

 

Từ đây có $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n} \underset{n \to +\infty}{\sim} (\frac{e}{2})^n $

Mình vẫn chưa hiểu.Nếu đề bài ra như sau:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}$$

Thì giải làm sao vậy bạn?Thanks.

Edited by minhviet, 14-08-2013 - 12:04.

[phudinhgioihan]

Mình vẫn chưa hiểu.Nếu đề bài ra như sau:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}$$

Thì giải làm sao vậy bạn?Thanks.

 

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(\frac{e}{2})^n+\frac{n^3}{2^n}}{1+\frac{\ln^3n}{2^n}}=+\infty$$

 

Do $\lim_{n \to +\infty}(\frac{e}{2})^n=+\infty \;\;, \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3}{2^n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln^3n}{2^n}=0 $

[minhviet]

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(\frac{e}{2})^n+\frac{n^3}{2^n}}{1+\frac{\ln^3n}{2^n}}=+\infty$$

 

Do $\lim_{n \to +\infty}(\frac{e}{2})^n=+\infty \;\;, \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3}{2^n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln^3n}{2^n}=0 $

Bạn giải thích chi tiết giùm tính bằng cách nào để được:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(\frac{e}{2})^n+\frac{n^3}{2^n}}{1+\frac{\ln^3n}{2^n}}$$

Thanks.

Edited by minhviet, 14-08-2013 - 12:36.

[phudinhgioihan]

Bạn giải thích chi tiết giùm tính bằng cách nào để được:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(\frac{e}{2})^n+\frac{n^3}{2^n}}{1+\frac{\ln^3n}{2^n}}$$

Thanks.

 

À, chia cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}$ cho $2^n$

[minhviet]

À, chia cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{e^n+n^3}{2^n+\ln^3n}$ cho $2^n$

Mình đang học phần chuỗi,cho mình hỏi theo như mình biết thì chia cả tử lẫn mẫu cho bậc cao nhất của n,sao bài này lại chia cho $2^{n}$ vậy bạn?Thanks.

[phudinhgioihan]

Mình đang học phần chuỗi,cho mình hỏi theo như mình biết thì chia cả tử lẫn mẫu cho bậc cao nhất của n,sao bài này lại chia cho $2^{n}$ vậy bạn?Thanks.

 

Chia cả tử lẫn mẫu cho bậc cao nhất khi cả tử và mẫu đều là đa thức nhưng ở đây là hàm mũ. Hơn nữa, việc chia này là kỹ thuật tính toán cho nên tùy ý mà sử dụng, không cần phải giữ nguyên tắc.

[minhviet]

Chia cả tử lẫn mẫu cho bậc cao nhất khi cả tử và mẫu đều là đa thức nhưng ở đây là hàm mũ. Hơn nữa, việc chia này là kỹ thuật tính toán cho nên tùy ý mà sử dụng, không cần phải giữ nguyên tắc.

Cảm ơn bạn.Nhờ bạn hướng dẫn mình giải 2 bài dưới đây với:

$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n+1]{n+(-1)^n}$

$\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}}{n+1} -\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\right )$

Thanks.

[phudinhgioihan]

Cảm ơn bạn.Nhờ bạn hướng dẫn mình giải 2 bài dưới đây với:

$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n+1]{n+(-1)^n}$

$\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}}{n+1} -\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\right )$

Thanks.

 

a) Sử dụng $\lim \sqrt[n]{n}=\lim \sqrt[n]{2}=1 $ , với $n>3$

 

$$\sqrt[n+1]{n+1} > \sqrt[n+1]{n+(-1)^n}  > \sqrt[n+1]{n-1} > \sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}}=\dfrac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n+1]{2}}$$

 

Do $\lim \sqrt[n+1]{n+1}= \lim \dfrac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n+1]{2}} =1 $ nên $\lim \sqrt[n+1]{n+(-1)^n} =1 $

 

b) $$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{n^3}{n^2+1} \right) =\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2(1-n)}{(n+1)(n^2+1)}$$

 

$$=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n}-1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n^2})}=-1 $$

 

( Quy đồng rồi chia tử và mẫu của phân thức cho $n^3 $ )

[minhviet]

a) Sử dụng $\lim \sqrt[n]{n}=\lim \sqrt[n]{2}=1 $ , với $n>3$

 

$$\sqrt[n+1]{n+1} > \sqrt[n+1]{n+(-1)^n}  > \sqrt[n+1]{n-1} > \sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}}=\dfrac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n+1]{2}}$$

 

Do $\lim \sqrt[n+1]{n+1}= \lim \dfrac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n+1]{2}} =1 $ nên $\lim \sqrt[n+1]{n+(-1)^n} =1 $

 

b) $$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{n^3}{n^2+1} \right) =\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2(1-n)}{(n+1)(n^2+1)}$$

 

$$=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n}-1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n^2})}=-1 $$

 

( Quy đồng rồi chia tử và mẫu của phân thức cho $n^3 $ )

Bài b thì mình hiểu còn bài a mình không hiểu.Bạn có thể giải bài a bằng cách khác không?Thanks.

Edited by minhviet, 15-08-2013 - 19:29.

[funcalys]

Bài b thì mình hiểu còn bài a mình không hiểu.Bạn có thể giải bài a bằng cách khác không?Thanks.

Bài a áp dụng nguyên lí kẹp đấy bạn;

Nếu

$ \left \{ a_n \right \}\leq \left \{ b_n \right \}\leq \left \{ c_n \right \} $

và $\lim a_n=\lim c_n =l$

$\Rightarrow \lim b_n=l$

Edited by funcalys, 16-08-2013 - 21:27.

[minhviet]

 

Bài a áp dụng nguyên lí kẹp đấy bạn;

Nếu

$ \left \{ a_n \right \}\leq \left \{ b_n \right \}\leq \left \{ c_n \right \} $

và $\lim a_n=\lim c_n =l$

$\Rightarrow \lim b_n=l$

 

Nhờ bạn giải giúp:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{2}3^{n}+4^{n}}$

[funcalys]

Nhờ bạn giải giúp:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{2}3^{n}+4^{n}}$

$\lim \sqrt[n]{n^{2}3^{n}+4^{n}}=\lim \sqrt[n]{3^n+4^n}=4$

[minhviet]

$\lim \sqrt[n]{n^{2}3^{n}+4^{n}}=\lim \sqrt[n]{3^n+4^n}=4$

$n^{2}$ tại sao mất rồi vậy bạn?Nhờ bạn hướng dẫn chi tiết từng bước với.Thanks.

[letrongvan]

Mình đang học phần chuỗi,cho mình hỏi theo như mình biết thì chia cả tử lẫn mẫu cho bậc cao nhất của n,sao bài này lại chia cho $2^{n}$ vậy bạn?Thanks.

Thường thì chia cho thằng to nhất ở mẫu, bài này cần dùng mấy cái điều kiện hàm này trội hơn hàm kia

[letrongvan]

Nhờ bạn giải giúp:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{2}3^{n}+4^{n}}$

Bạn làm như sau: $u_{n=}4.\sqrt[n]{n^{2}.(\frac{3}{4})^{n}+1}$ tiếp theo suy luận sao thì không dám nói có thể nó ra bằng 4 đấy