Giải hệ
1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$
Không thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki khi đi thi Đại học vì trong chương trình THPT không còn dạy BĐT này. Muốn sử dụng phải chứng minh.
Tôi trình bày một cách giải khác sau đây:
Điều kiện: $1\leqslant x\leqslant 3$; $1\leqslant y\leqslant 3$
Cộng hai phương trình của hệ theo vế ta được: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{3-y}=4$ $(*)$
Xét hàm số $f(t)=\sqrt{t-1}+\sqrt{3-t}$ với $t\in [1;3]$
Đạo hàm: $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-t}}=\frac{\sqrt{3-t}-\sqrt{t-1}}{2\sqrt{(t-1)(3-t)}}$
$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$
BBT:
$$ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & 1 & \; & 2 & \; & 3 &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 2 & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & \sqrt{2} & \; & \; & \; & \sqrt{2} & \\ \hline \end{array} $$
Từ BBT của hàm số $f(t)$ suy ra $f(t)\leqslant 2$ với mọi $t\in [1;3]$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=2$.
Do đó pt (*) chỉ xảy ra khi $x=y=2$.
Thử lại: thấy $x=y=2$ là nghiệm của hệ phương trình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 15-08-2013 - 22:06