3 replies to this topic

[Kaitou Kid 1412]

Giải hệ

1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} (2\sqrt{2x^2-y^2}=y^2-2x^2+3 &&\\ x^3-2y^3=y-2x &&\end{matrix}\right.$

(Bài này m giải pt (1) ra được rồi nhưng không thế vào pt (2) được)

3.$\left\{\begin{matrix} ((\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^2+3})x=y-3 &&\\ \sqrt{x^2+y}+\sqrt{x}=x+3 &&\end{matrix}\right.$

 

 

MOD: Chú ý tiêu đề bài viết bạn nhé

Edited by Mai Duc Khai, 14-08-2013 - 23:32.

[mystery266]

Giải hệ

1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} (2\sqrt{2x^2-y^2}=y^2-2x^2+3 &&\\ x^3-2y^3=y-2x &&\end{matrix}\right.$

(Bài này m giải pt (1) ra được rồi nhưng không thế vào pt (2) được)

3.$\left\{\begin{matrix} ((\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^2+3})x=y-3 &&\\ \sqrt{x^2+y}+\sqrt{x}=x+3 &&\end{matrix}\right.$

 

 

MOD: Chú ý tiêu đề bài viết bạn nhé

 

1)theo bất đẳng thức bunhiacopski

 

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}\leq \sqrt{2(2+x-y)}$$\Leftrightarrow y\leq x$

 

$\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}\leq \sqrt{2(2+y-x)}\Leftrightarrow x\leq y$

 

 dấu bằng xảy ra khi x=y thay vào hệ ban đầu 

 

2) PT(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-y^2}-1)(\sqrt{2x^2-y^2}+3)=0$

 

$2x^2-y^2=1$ kết hợp với pt(2) ta có hệ sau

 

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-y^2=1\\ y-2x=x^3-2y^3 \end{matrix}\right.$

 

nhân vế theo vế  sễ ra pt đẳng cấp bậc 3 với x và y đã biết cách giải

 

3) nhân liên hợp cho pt(1)

 

PT(1)$\frac{(y-3)x}{\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}}=y-3$

 

y=3 thay vào pt (2) giải tiếp

 

$x=\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}$$\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{x^2+y}$

 

thay $\sqrt{x^2+y}$ vào pt(2) giải tiếp

[hungnp]

 

Giải hệ

1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$

Không thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki khi đi thi Đại học vì trong chương trình THPT không còn dạy BĐT này. Muốn sử dụng phải chứng minh.

Tôi trình bày một cách giải khác sau đây:

 

Điều kiện: $1\leqslant x\leqslant 3$; $1\leqslant y\leqslant 3$

Cộng hai phương trình của hệ theo vế ta được: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{3-y}=4$   $(*)$

Xét hàm số $f(t)=\sqrt{t-1}+\sqrt{3-t}$ với $t\in [1;3]$

Đạo hàm: $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-t}}=\frac{\sqrt{3-t}-\sqrt{t-1}}{2\sqrt{(t-1)(3-t)}}$

$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$

BBT:

$$ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & 1 & \; & 2 & \; & 3 &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 2 & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & \sqrt{2} & \; & \; & \; & \sqrt{2} & \\ \hline \end{array} $$

Từ BBT của hàm số $f(t)$ suy ra $f(t)\leqslant 2$ với mọi $t\in [1;3]$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=2$.

Do đó pt (*) chỉ xảy ra khi $x=y=2$.

Thử lại: thấy $x=y=2$ là nghiệm của hệ phương trình.

Edited by hungnp, 15-08-2013 - 22:06.

[hungnp]

2) Hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x^2-y^2}=y^2-2x^2+3\\ x^3-2y^3=y-2x \end{matrix}\right.$

2) PT(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-y^2}-1)(\sqrt{2x^2-y^2}+3)=0$

Giải như vậy học sinh rất khó hiểu.

 

Đặt $t=\sqrt{2x^2-y^2}$, ĐK: $t\geqslant 0$. Khi đó: $2x^2-y^2=t^2$.

Pt (1) trở thành: $2t=-t^2+3\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t =1 \\ t=-3 \end{matrix}\right.$

Loại $t=-3$

Với $t=1$ ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2-y^2=1\\ x^3-2y^3=y-2x \end{matrix}\right.$

Nhân 2 pt này theo vế ta suy ra: $x^3-2y^3=(y-2x)(2x^2-y^2) \Leftrightarrow 5x^3-2x^2y-2xy^2-y^3=0$ (*)

Dễ thấy $y=0$ không thỏa hệ pt đề cho nên chia 2 vế pt (*) cho $y^3$ ta được:

$$ 5\left(\frac{x}{y}\right)^3-2\left(\frac{x}{y}\right)^2-2\left(\frac{x}{y}\right)-1=0\Leftrightarrow \frac{x}{y}=1 \Leftrightarrow x=y $$

Đáp số: $(1;1)$; $(-1;-1)$

Edited by hungnp, 15-08-2013 - 22:21.