Chủ đề này có 1 trả lời

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=x+1+\frac{1}{x-1}(C)$. Tìm những điểm trên $(C)$ có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

$y = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x^2}{x - 1}$

TXĐ: D = R\{1}

 

Ta có: $y' = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$

Đồ thị (C) có TCĐ: $x = 1$ và TCX: $y = x + 1$ 

 

Gọi $A\left (x_o; \dfrac{x_o^2}{x_o - 1} \right )$ là điểm thỏa mãn tính chất đề bài.

 

Phương trình tiếp tuyến tại A:

$(d): y = \dfrac{x_o^2 - 2x_o}{(x_o - 1)^2}\left ( x - x_o\right ) + \dfrac{x_o^2}{x_o - 1} = \dfrac{x_o^2 - 2x_o}{(x_o - 1)^2}x + \dfrac{x_o^2}{(x_o - 1)^2}$

 

Ta có:

- Giao điểm của 2 đường tiệm cận: $M(1; 2)$

- Giao điểm của (d) với TCĐ: $B(1; \dfrac{2x_o}{x_o - 1})$

- Giao điểm của (d) với TCX: $C(2x_o - 1; 2x_o)$

Khi đó, với $x_o > 1$, đặt $a = x_o - 1 > 0$, ta có: 

$MB = \sqrt{(1 - 1)^2 + \left (\dfrac{2x_o}{x_o - 1} - 2 \right )^2} = \dfrac{2}{x_o - 1} = \dfrac{2}{a}$

 

$MC = \sqrt{(2x_o - 2)^2 + (2xo - 2)^2} = 2\sqrt{2}(x_o - 1) = 2\sqrt{2}a$

 

$BC = \sqrt{(2x_o - 2)^2 + \left (2x_o - \dfrac{2x_o}{x_o - 1}\right )^2} = \sqrt{4a^2 + 4\left (a - \dfrac{1}{a} \right )^2}$

 

Khi đó:

$C_{\triangle MBC} = \dfrac{2}{a} + 2\sqrt{2}a + \sqrt{8a^2 + \dfrac{4}{a^2} - 8} \geq  4\sqrt[4]{2} + \sqrt{8(\sqrt{2} - 1)}$

 

Vậy $Min_C = 4\sqrt[4]{2} + \sqrt{8(\sqrt{2} - 1)}$ khi $\dfrac{2}{a} = 2\sqrt{2}a \Rightarrow x_o = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}} + 1$

 

Do đó: $A\left ( \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}} + 1; \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[4]{2} + 2\right )$