Chủ đề này có 1 trả lời

[tanh]

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : 

$\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}+\sqrt{x^{2}+3x+\frac{9}{4}}=m$

 

[hungnp]

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : 

$\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}+\sqrt{x^{2}+3x+\frac{9}{4}}=m$

NHẬN XÉT: $(1-x)(4+x)=-x^2-3x+4$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\ 4+x\geq 0\\ x^2+3x+\frac{9}{4}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -4\leq x\leq -\frac{3}{2}$

Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}\Rightarrow \frac{t^2-5}{2}=\sqrt{-x^2-3x+4}$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{t^4-10t^2+25}{4}}=t\sqrt{10-t^2}$

 

Xem $t$ là hàm theo $x$, ta tìm miền giá trị của $t$ khi $x\in [-4;-\frac{3}{2}]$

Đạo hàm: $t'=\frac{1}{2\sqrt{4+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

$t'=0\Leftrightarrow \sqrt{4+x}=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$

Vẽ BBT của $t$ ta suy ra $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$

 

PT đề cho trở thành: $t+t\sqrt{10-t^2}=m$

Đặt $f(t)=t+t\sqrt{10-t^2}$ với $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$

Đạo hàm: $f'(t)=1+\sqrt{10-t^2}-\frac{t^2}{\sqrt{10-t^2}}=\frac{\sqrt{10-t^2}+10-2t^2}{\sqrt{10-t^2}}$

Giải phương trình: $f'(t)=0\Leftrightarrow \sqrt{10-t^2}=2t^2-10\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2t^2-10\geq 0\\
10-t^2=(2t^2-10)^2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t^2\geq 5\\
4t^4-39t^2+90=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t^2=6\Leftrightarrow t=\sqrt{6} $

BBT của $f(t)$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & \sqrt{5} & \; & \sqrt{6} & \; & \sqrt{10} &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 3\sqrt{6} & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & 5+\sqrt{5} & \; & \; & \; & \sqrt{10} & \\ \hline \end{array}$$

Vậy pt có nghiệm khi: $\sqrt{10}\leq m\leq 3\sqrt{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 20-08-2013 - 14:47